初中数学提前录取模拟试题（一）（含解析）

到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷（1）一、选择题1若a为实数，则化简的结果是（）AaBaCaD|a|2如果x2（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A1B1C1或1D1或33如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点若想求出MN的长度，那么只需条件（）AAB=12BBC=4CAM=5DCN=24如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）AB1C1D15已知关于x的方程（2a+b）x1=0无解，那么ab的值是（）A负数B正数C非负数D非正数6有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A1.2元B1.05元C0.95元D0.9元7如图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE（ACE120），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则CPM是（）A钝角三角形B直角三角形C等边三角形D非等腰三角形8如果关于x的方程x2ax+a23=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A2a2BCD9如图，ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A3：2：1B5：3：1C25：12：5D51：24：1010已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A1xBCD二、填空题11如果不等式组无解，则a的取值范围是12若抛物线y=2x2px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为13如图，在菱形ABCD中，AEBC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是14已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：asin+bcosc=0；acosbsin+d=0（其中为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：15函数y=|x1|+2|x2|+3|x3|+4|x4|的最小值是16如图，在ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB为直径的O分别交AC、BC两边于点D、E，则CDE的面积为17已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是18若直线y=b（b为实数）与函数y=|x24x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是三、解答题（共4小题，共50分）19设m是不小于1的实数，关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值20如图，已知O和O相交于A、B两点，过点A作O的切线交O于点C，过点B作两圆的割线分别交O、O于E、F，EF与AC相交于点P（1）求证：PAPE=PCPF；（2）求证：；（3）当O与O为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求PEC与FAP的面积的比值21观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，（1）你能从中推导出计算12+22+32+42+n2的公式吗？请写出你的推导过程；（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线y=x2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、An1，分别过这n1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、Bn1，设OBA1、A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4、An1Bn1A的面积依次为S1、S2、S3、S4、Sn当n=2013时，求s1+s2+s3+s4+s2013的值；试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？22（14分）已知：直角三角形AOB中，AOB=90，OA=3厘米，OB=4厘米以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒设P、Q运动的时间为t秒（0t4）（1）求OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？（2）当t为何值时，BPQ和AOB相似；（3）当t为何值时，OPQ为直角三角形；（4）试证明无论t为何值，OPQ不可能为正三角形；若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、选择题1若a为实数，则化简的结果是（）AaBaCaD|a|【考点】二次根式的性质与化简【专题】计算题【分析】利用二次根式的性质进行化简计算【解答】解：当a0时， =|a|=a当a0时， =|a|=a故选D【点评】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题2如果x2（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A1B1C1或1D1或3【考点】完全平方式【专题】计算题【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍【解答】解：x2（m+1）x+1是完全平方式，（m+1）x=21x，解得：m=1或m=3故选D【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解3如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点若想求出MN的长度，那么只需条件（）AAB=12BBC=4CAM=5DCN=2【考点】比较线段的长短【专题】计算题【分析】根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：，继而即可得出答案【解答】解：根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：，只要已知AB即可故选A【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键4如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）AB1C1D1 【考点】扇形面积的计算【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即1=【解答】解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；两个扇形的面积=2S3+S1+S2；，得：S3S4=S扇形S正方形=1=故选：A【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键5已知关于x的方程（2a+b）x1=0无解，那么ab的值是（）A负数B正数C非负数D非正数【考点】一元一次方程的解【专题】计算题【分析】根据一元一次方程ax=b无解，则a=0，b0，依此可以得出关于x的方程（2a+b）x1=0中2a+b=0，从而得出ab的取值范围【解答】解：关于x的方程（2a+b）x1=0无解，则2a+b=0有a=b=0或者a、b异号ab的值为非正数故选D【点评】本题考查了一元一次方程的解注意形如ax=b的方程无解，a=0，b06有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A1.2元B1.05元C0.95元D0.9元【考点】三元一次方程组的应用【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，得x+y+z=1.05（元）故选：B【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想7如图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE（ACE120），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则CPM是（）A钝角三角形B直角三角形C等边三角形D非等腰三角形【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】首先根据等边三角形的性质，得出AC=BC，CD=CE，ACB=ECD=60，则BCE=ACD，从而根据SAS证明BCEACD，得CBE=CAD，BE=AD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点，得BP=AM，根据SAS证明BCPACM，得PC=MC，BCP=ACM，则PCM=ACB=60，从而证明该三角形是等边三角形【解答】解：ABC和CDE都是等边三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=ECD=60BCE=ACDBCEACDCBE=CAD，BE=AD又点P与点M分别是线段BE和AD的中点，BP=AMBCPACMPC=MC，BCP=ACMPCM=ACB=60CPM是等边三角形故选：C【点评】三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用，本题结合三角形全等的知识，考查了等边三角形的性质8如果关于x的方程x2ax+a23=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A2a2BCD【考点】根与系数的关系；根的判别式【分析】根据方程x2ax+a23=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即0，关于x的方程x2ax+a23=0至少有一个正根（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求【解答】解：=a24（a23）=123a2（1）当方程有两个相等的正根时，=0，此时a=2，若a=2，此时方程x22x+1=0的根x=1符合条件，若a=2，此时方程x2+2x+1=0的根x=1不符舍去，（2）当方程有两个根时，0可得2a2，若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a230，解可得a，而a=时不合题意，舍去 所以a符合条件，若方程有两个正根，则，解可得 a，综上可得，a2故选C【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目9如图，ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A3：2：1B5：3：1C25：12：5D51：24：10【考点】相似三角形的判定与性质【专题】计算题【分析】连接EM，根据已知可得BHDBME，CEMCDA，根据相似比从而不难得到答案【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3EM平行于ADBHDBME，CEMCDAHD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3AH=（3）ME，AH：ME=12：5HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，BH：HM=3：2=BH：17kBH=K，BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用10已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A1xBCD【考点】三角形三边关系【分析】根据勾股定理可知x的平方取值范围在2与3的平方和与平方差之间【解答】解：因为3222=5，32+22=13，所以5x213，即故选B【点评】本题考查了锐角三角形的三边关系定理，有一定的难度二、填空题11如果不等式组无解，则a的取值范围是a1【考点】解一元一次不等式组【分析】根据不等式组解集的定义可知，不等式x10的解集与不等式xa0的解集无公共部分，从而可得一个关于a的不等式，求出此不等式的解集，即可得出a的取值范围【解答】解：解不等式x10，得x1，解不等式xa0，xa不等式组无解，a1【点评】本题中由两个一元一次不等式组成的不等式组无解，根据“大大小小无解集”，可知x10的解集不小于不等式xa0的解集，尤其要注意不要漏掉a=112若抛物线y=2x2px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）【考点】二次函数图象上点的坐标特征【专题】压轴题【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标【解答】解：y=2x2px+4p+1可化为y=2x2p（x4）+1，分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断13如图，在菱形ABCD中，AEBC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是4.8【考点】解直角三角形；菱形的性质【专题】计算题【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x2，解直角ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和ABE的面积，即可求得PE的最小值【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x2，因为AEBC于E，所以在RtABE中，cosB=，又cosB=，于是，解得x=10，即AB=10所以易求BE=8，AE=6，当EPAB时，PE取得最小值故由三角形面积公式有： ABPE=BEAE，求得PE的最小值为4.8故答案为 4.8【点评】本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键14已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：asin+bcosc=0；acosbsin+d=0（其中为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：a2+b2=c2+d2【考点】同角三角函数的关系【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2+cos2=1，即可找到这四个数的关系【解答】解：由得 asin+bcos=c，两边平方，a2sin2+b2cos2+2absincos=c2由得 acosbsin=d，两边平方，a2cos2+b2sin22absincos=d2+得a2（sin2+cos2）+b2（sin2+cos2）=c2+d2a2+b2=c2+d2【点评】本题考查了sin2+cos2=1的应用15函数y=|x1|+2|x2|+3|x3|+4|x4|的最小值是8【考点】函数值【专题】计算题；分类讨论【分析】根据式子特点，分x1，1x2，2x3，3x4，x4几种情况讨论【解答】解：x1时，y=1x+2（2x）+3（3x）+4（4x）=3010x，当x=1时，y最小值=3010=20；1x2时，y=x1+2（2x）+3（3x）+4（4x）=8x+28，当x=2时，y最小值=2816=12；2x3时，y=x1+2（x2）+3（3x）+4（4x）=4x+20，当x=3时，y最小值=2012=8；3x4时，y=x1+2（x2）+3（x3）+4（4x）=2x+2，无最小值；x4时，y=x1+2（x2）+3（x3）+4（x4）=10x30，无最小值综上所述，原式的最小值为8【点评】通过分类讨论，将原函数转化为分段函数，再根据x的取值范围求出各段的最小值，取其最小者，即为原函数最小值16如图，在ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB为直径的O分别交AC、BC两边于点D、E，则CDE的面积为【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理【分析】连接DE，由B+ADE=180，ADE+EDC=180得B=EDC，证EDCABC，则再由相似三角形的面积之比等于边长比的平方【解答】解：连接DE在O中，B+ADE=180，又ADE+EDC=180，则B=EDC，ACB=ECD，EDCABC，由于AB为直径，AB=AC，则AEBC，E为BC中点，EC=1，AE=2则=5SABC=22=2，SEDC=【点评】本题考查了相似三角形的性质，面积之比等于对应边之比的平方17已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是p1【考点】一元二次方程根的分布【分析】首先设f（x）=x2+2px+1，由关于x的方程x2+2px+1=0有两个实数根，可得判别式0，则可求得P1或P1，又由此二次函数的开口向上与两个实数根一个小于1，另一个大于1，可得f（1）0，即可求得实数p的取值范围【解答】解：设f（x）=x2+2px+1，关于x的方程x2+2px+1=0有两个实数根，=4p240，解得：P1或P1，关于x的方程x2+2px+1=0开口向上，两个实数根一个大于1，另一个小于1（如草图），f（1）=1+2p+1=2p+20，P1，P的范围是：P1【点评】此题考查了一元二次方根的分布，函数的性质与一元二次不等式的解法此题难度较大，解题的关键是掌握函数思想与数形结合思想的应用，还要注意二次函数的性质的灵活应用18若直线y=b（b为实数）与函数y=|x24x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0b1【考点】二次函数的性质【分析】先求x24x+3=0时x的值，再求x24x+30和x24x+30时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b的值的范围【解答】解：当x24x+3=0时，x=1或x=3，当x1或x3时，x24x+30，即：y=|x24x+3|，函数值大于0，当1x3时，1x24x+30，即：y=|x2+4x3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0b1【点评】本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围三、解答题（共4小题，共50分）19（2015永春县自主招生）设m是不小于1的实数，关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值【考点】二次函数的性质；根的判别式；根与系数的关系【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值【解答】解：方程有两个不相等的实数根，=b24ac=4（m2）24（m23m+3）=4m+40，m1，结合题意知：1m1（1）x12+x22=（x1+x2）22x1x2=4（m2）22（m23m+3）=2m210m+10=6，1m1，；（2）=（1m1）当m=1时，式子取最大值为10【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解用到一元二次方程的根的判别式=b24ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2=，x1x2=来化简代数式的值20（1999福州）如图，已知O和O相交于A、B两点，过点A作O的切线交O于点C，过点B作两圆的割线分别交O、O于E、F，EF与AC相交于点P（1）求证：PAPE=PCPF；（2）求证：；（3）当O与O为等圆时，且PC：CE： EP=3：4：5时，求PEC与FAP的面积的比值【考点】切线的性质；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质【专题】几何综合题；压轴题；数形结合【分析】（1）连接AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到CAB=F，CAB=E，则F=E，根据内错角相等，得到AFCE，再根据平行线分线段成比例定理进行证明；（2）利用（1）的比例式，两边同平方，再根据切割线定理进行等量代换即可；（3）要求两个三角形的面积比，根据（1）知：两个三角形相似所以只需求得它们的一组对应边的比，根据所给的线段的比值，结合勾股定理的逆定理发现RtPCE，连接AE，AE即是直径又根据平行线的性质得到PAF=90，则AF是圆的直径根据勾股定理得到x与y的比值，从而得到三角形的面积比【解答】（1）证明：连接AB，CA切O于A，CAB=FCAB=E，E=FAFCEPAPE=PCPF（2）证明：，=再根据切割线定理，得PA2=PBPF，（3）解：连接AE，由（1）知PECPFA，而PC：CE：EP=3：4：5，PA： FA：PF=3：4：5设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y，EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2C=CAF=90AE为O的直径，AF为O的直径O与O等圆，AE=AF=4yAC2+CE2=AE2（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy7y2=0，（25x7y）（x+y）=0，【点评】此题综合运用了切线的性质、圆周角定理的推论、切割线定理以及相似三角形的性质和判定，难度比较大，综合性比较强21（2015黄冈中学自主招生）观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，（1）你能从中推导出计算12+22+32+42+n2的公式吗？请写出你的推导过程；（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线y=x2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、An1，分别过这n1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、Bn1，设OBA1、A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4、An1Bn1A的面积依次为S1、S2、S3、S4、Sn当n=2013时，求s1+s2+s3+s4+s2013的值；试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？【考点】二次函数综合题【分析】（1）由n3（n1）3=3n23n+1公式的n的式子相加推导出12+22+32+42+n2的公式（2）结合抛物线和（1）中推导出的公式求出S1+S2+S3+S4+S5+S2013的值；当n取到无穷无尽时，取极值，求得三角形的面积【解答】解：（1）n3（n1）3=3n23n+1，当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：1303=31231+1，2313=32232+1，3323=33233+1n3（n1）3=3n23n+1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n3=3（12+22+32+n2）3（1+2+3+n）+n，即12+22+32+n2=（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0），（0，3），点A1（，0）A2（，0）A3（，0）A4（，0）An1（，0），点B1（，（）2+2（）+3），B2（，（）2+2（）+3）Bn1（，2+2+3），S1=，S2=，S3=Sn=S1+S2+S3+Sn=当n=2013时，S1+S2+S3+S4+S2013=；S1+S2+S3+Sn=+，当n取到无穷无尽时，上式的值等于，即所有三角形的面积和等于【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用立方差公式推导是解题关键，（2）利用等分得出A点坐标，利用点在函数图象上得出B点坐标，利用推导公式求出面积的和，计算是解题关键22（14分）（2015黄冈中学自主招生）已知：直角三角形AOB中，AOB=90，OA=3厘米，OB=4厘米以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A