高考数学总复习 第三章 导数及其应用 高考大题专项突破1 函数导数方程不等式压轴大题课件 理 新人教a版

高考大题专项突破一 函数、导数、方程、不等式压轴大题 从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是 一大一小两个题目;命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函 数及分式函数为命题载体,以切线问题、单调性问题、极值最值问 题、恒成立问题、存在性问题、函数零点问题为设置条件,与参数 的范围、不等式的证明,方程根的分布综合成题;重点考查学生应 用分类讨论的思想、函数与方程的思想、数形结合思想及化归与 转换思想来分析问题、解决问题的能力. 1.常见恒成立不等式 (1)ln xx+1. 2.构造辅助函数的四种方法 (1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x) 在c,d上的最大值; (2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x) 在c,d上的最小值; (3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x) 在c,d上的最小值; (4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x) 在c,d上的最大值; (5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与 g(x)在c,d上的值域的交集非空; (6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在 c,d上的值域; (7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在 c,d上的值域. 题型一题型二题型三题型四 题型一 讨论单调 性或求单调 区间 突破策略一 分类讨论 法 例1已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)0,求a的取值范围. 思路导引(1)讨论f(x)的单调性求函数的定义域求导函数 判断导函数的符号确定单调区间; (2)讨论a的取值范围求f(x)导函数确定f(x)的单调区间求 f(x)取最小值解不等式f(x)max0得a的范围合并a的范围. 突破1 导数与函数的单调性、极值、最值 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 解题心得利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数 的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行 分类讨论. 题型一题型二题型三题型四 对点训练1已知函数f(x)=ln x-mx(mR). (1)若m=1,求曲线y=f(x)在点P(1,-1)处的切线方程; (2)讨论函数f(x)在(1,e)内的单调性. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 突破策略二 构造函数法 例2已知函数 (k为常数,e是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行. (1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 解题心得通过导数研究单调性,首先要判断所构造函数的导函数 的正负,因此,构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易 估. 题型一题型二题型三题型四 对点训练2设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线 方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间. 题型一题型二题型三题型四 (2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0,知f(x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)内单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)内的最小值, 从而g(x)0,x(-,+). 综上可知,f(x)0,x(-,+). 故f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间. 题型一题型二题型三题型四 题型二 求函数的极值、最值 突破策略一 定义法 例3(2017湖南邵阳一模,理21)已知函数f(x)=x-axln x(a0), (1)求函数f(x)单调区间; (2)当a=-1时, 求函数f(x)在e-e,e上的值域; 题型一题型二题型三题型四 思路导引(1)求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围求出函数的单 调区间即可; (2)将a=-1代入f(x),求出函数的导数,根据函数的单调性求出函 数的值域即可; 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 解题心得1.求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确 定极值,比较极值与区间的端点值确定最值; 2.对kf(x)恒成立,求参数k的最值问题,应先求出f(x)的 最值,再由此得出参数的最值. 题型一题型二题型三题型四 对点训练3(2017北京高考,理19)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值. 题型一题型二题型三题型四 突破策略二 分类讨论 法 例4已知函数f(x)=ex-e-x-2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时,g(x)0,求b的最大值. 题型一题型二题型三题型四 解: (1)f(x)=ex+e-x-20,当且仅当x=0时等号成立, 所以f(x)在(-,+)内单调递增. (2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x, g(x)=2e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2). 当b2时,g(x)0,当且仅当x=0时等号成立,所以g(x)在(-,+) 内单调递增. 而g(0)=0,所以对任意x0,g(x)0; 当b2时,若x满足2f(0)=-1. 所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20. 由(1)知,f(x)+a单调递增. 对任意a0,1),f(0)+a=a-10). (1)若f(x)是(0,+)内的增函数,求实数a的取值范围; (2)当 时,求证:函数f(x)有最小值,并求函数f(x)最小值的 取值范围. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型四 与极值、最值有关的证明问题 突破策略 等价转换 法 例6(2017河南商丘二模,理21)已知函数f(x)=ln x-2ax,aR. (1)若函数y=f(x)的图象存在与直线2x-y=0垂直的切线,求实数a的 取值范围; 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 解题心得将已知条件进行转换或将要解决的问题进行等价转换 是解决函数问题的常用方法,通过转换变陌生问题为熟悉问题,从 而得到解决. 题型一题型二题型三题型四 对点训练6已知函数f(x)=e2x-4aex-2ax,g(x)=x2+5a2,aR. (1)若a=1,求f(x)的递增区间; (2)若f(x)在R上单调递增,求a的取值范围; 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二 突破2 导数与不等式及参数范围 题型一 求参数的取值范围(多维探究) 突破策略一 从条件中构造函数 例1已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程; (2)若当x(1,+)时,f(x)0,求a的取值范围. 题型一题型二 题型一题型二 题型一题型二 题型一题型二 解题心得用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题,一般 都需要构造函数,然后对构造的函数求导,一般导函数中都含有参 数,通过对参数讨论确定导函数的正负,由导函数的正负确定构造 函数的单调性,再由单调性确定是否满足函数不等式,由此求出参 数范围. 题型一题型二 对点训练1已知函数f(x)=ax-ln x. (1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标; (2)对x1,+),不等式f(x)a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范 围. 题型一题型二 (2)不等式ax-ln xa(2x-x2)恒成立, 等价于a(x2-x)ln x对x1,+)恒成立. 设y1=a(x2-x),y2=ln x,由于x1,+),且当a0时,y1y2,故a0. 设g(x)=ax2-ax-ln x, 当00. 若m0,f(x)0. 所以,f(x)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增. 题型一题型二 (2)解: 由(1)知,对任意的m,f(x)在-1,0上单调递减,在0,1上单调递 增,故f(x)在x=0处取得最小值. 所以对于任意x1,x2-1,1,|f(x1)-f(x2)|e-1的充要条件是 即em-me-1,e-m+me-1. 设函数g(t)=et-t-e+1,则g(t)=et-1. 当t0时,g(t)0. 故g(t)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增. 又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e1时,由g(t)的单调性,g(m)0,即em-me-1; 当m0,即e-m+me-1.综上,m的取值范围是-1,1. 题型一题型二 解题心得在面对陌生的已知条件,一时没有解题思路时,不妨对 已知条件进行等价转化,在转化的过程中把问题化归为熟悉的问题 或者熟悉的题型,从而求解. 题型一题型二 题型一题型二 题型一题型二 题型一题型二 突破策略三 分离参数后构造函数 例3已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x-2时,f(x)kg(x),求k的取值范围. 题型一题型二 难点突破(作差构造)f(x)kg(x)kg(x)-f(x)0,设F(x)=kg(x)- f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1)令 F(x)=0得x1=-ln k,x2=-2. 此时,类比二次函数根的分布进行分类讨论F(x)的最小值大于或 等于0时的k的范围. (分离参数后构造函数)若x-2时,f(x)kg(x)当x- 2,x2+4x+22kex(x+1)恒成立. 题型一题型二 解: (1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4. 而f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c), 故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2. (2)(方法一)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 令F(x)=0得x1=-ln k,x2=-2. 由题设F(x)0,可得F(0)0,即k1. 题型一题型二 若1k0.即F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+)单调递增.故F(x)在- 2,+)内的最小值为F(x1). 而F(x1)=2x1+2- -4x1-2=-x1(x1+2)0. 故当x-2时,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立. 若k=e2,则x1=x2=-2,从而当x-2时,F(x)0,即F(x)在(-2,+)单调 递增. 而F(-2)=0,故当x-2时,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立. 若ke2,x1=-ln k0,F(-2)=-2ke- 2+2=-2e-2(k-e2)d(x)有且仅有两个整数解,求b的取值范围. 题型一题型二 题型一题型二 题型一题型二 题型二 证明不等式(多维探究) 突破策略一 作差构造函数 例4已知函数f(x)=ex-ax2+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 y=bx+2. (1)求a,b的值; (2)当x0时,求证:f(x)(e-2)x+2. 思路导引(2)中设g(x)=f(x)-(e-2)x-2,若能判断g(x)的单调性,可由 单调性证出g(x)0.为此需要求g(x)的导数,并判断g(x)的正负,若不 好判断再设h(x)=g(x)进行第二次求导,由h(x)的正负,判断出g(x)的 单调性,再通过g(x)的几个特殊值的正负,判断出g(x)的正负即g(x) 的单调性. 题型一题型二 解: (1)f(x)=ex-2ax,f(1)=e-2a=b,f(1)=e-a+1=b+2,解得a=1,b=e- 2. (2)设g(x)=f(x)-(e-2)x-2=ex-x2-(e-2)x-1,则g(x)=ex-2x-(e-2), 设h(x)=ex-2x-(e-2),h(x)=ex-2. g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+)上单调递增, 又g(0)=3-e0,g(ln 2)=2-2ln 2-e+2=4-2ln 2-e0;当x(x0,1)时,g(x)g(x)(xa),只需证明f(x)- g(x)0(xa),设h(x)=f(x)-g(x),即证h(x)0.若h(a)=0,h(x)h(a)(xa). 接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可. 2.欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)- g(x)0(xI). 设h(x)=f(x)-g(x)(xI),即证h(x)0,也即证h(x)min0(xI)(若 h(x)min不存在,则须求函数h(x)的下确界),而这用导数往往容易解决. 3.证明f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)ming(x)max;证明 f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)ming(x)max,或证明 f(x)ming(x)max且两个最值点不相等. 题型一题型二 对点训练4(2017广东汕头高三期末,理21)已知f(x)=ex-ax2,曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y=bx+1. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在0,1上的最大值; (3)证明:当x0时,ex+(1-e)x-1-xln x0. (1)解: f(x)=ex-2ax,由题设得f(1)=e-2a=b,f(1)=e-a=b+1, 解得a=1,b=e-2. (2)解: 由(1)知f(x)=ex-x2,f(x)=ex-2x,设h(x)=ex-2x,h(x)=ex-2. f(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+)上单调递增,所以 f(x)f(ln 2)=2-2ln 20, f(x)在0,1上单调递增, f(x)max=f(1)=e-1. 题型一题型二 (3)证明 f(0)=1,由(2)知,f(x)过点(1,e-1),且y=f(x)在x=1处的切线 方程为y=(e-2)x+1,故可猜测当x0,x1时,f(x)的图象恒在切线y=(e- 2)x+1的上方. 下证:当x0时,f(x)(e-2)x+1. 设g(x)=f(x)-(e-2)x-1=ex-x2-(e-2)x-1,则g(x)=ex-2x-(e-2). 设t(x)=ex-2x-(e-2),t(x)=ex-2. g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+)上单调递增, 又g(0)=3-e0,g(ln 2)=2-2ln 2-e+2=4-2ln 2-e0;当x(x0,1)时,g(x)1. 题型一题型二 题型一题型二 题型一题型二 解题心得证明不等式f(x)g(x)成立,可以构造函数H(x)=f(x)-g(x), 通过证明函数H(x)的最小值大于等于零即可,可是有时候利用导数 求函数H(x)的最小值不易,可证明f(x)的最小值大于等于g(x)的最大 值即可. 题型一题型二 题型一题型二 (2)证明: 由f(1)=0,得k=1,令g(x)=(x2+x)f(x), 令h(x)=1-x-xln x,x(0,+),则h(x)=-ln x-2,x(0,+), 因此当x(0,e-2)时,h(x)0,h(x)单调递增; 当x(e-2,+)时,h(x)0. 题型一题型二 题型一题型二 解题心得判断函数f(x)的单调性可求f(x)0或f(x)0或f(x)0时,f(x)2a+aln . 思路导引(1)讨论f(x)零点的个数要依据f(x)的单调性,应用零点 存在性定理进行判断. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 (2)证明: 由(1),可设f(x)在(0,+)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时 ,f(x)0. 故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+)单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得 最小值,最小值为f(x0). 解题心得研究函数零点或方程根的情况,可以通过导数研究函数的 单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判 断函数零点或方程根的情况. 题型一题型二题型三 对点训练1已知函数f(x)=(x2-3x+3)ex. (1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在-2,t(t-2)上为单调函数; 解: (1)f(x)=(x2-3x+3)ex+(2x-3)ex=x(x-1)ex, 由f(x)0,得x1或x0),讨论h(x)零点的个数. 思路导引(1)设切点(x0,0),依题意f(x0)=0,f(x0)=0,得关于a,x0的方 程组解之. (2)为确定出h(x),对自变量x0分类讨论;确定出h(x)后,对参数a分 类讨论h(x)零点的个数,h(x)零点的个数的确定要依据h(x)的单调性 和零点存在性定理. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 解题心得1.如果函数中没有参数,那么可以直接一阶求导得出函 数的极值点,判断极值点大于0和小于0的情况,进而判断函数零点 的个数. 2.如果函数中含有参数,那么一阶导数的正负往往不好判断,这时 要对参数进行分类,在参数的小范围内判断导数的符号.如果分类 也不好判断,那么需要对一阶导函数进行再次求导,在判断二阶导 数的正负时,也可能需要分类. 题型一题型二题型三 对点训练2已知函数f(x)=2x3-3x2+1,g(x)=kx+1-ln x. (2)若过点P(a,-4)恰有三条直线与曲线y=f(x)相切,求a的取值范围 . 题型一题型二题型三 当k0,g(e)=ke0时f(x)的单调性,依据f(x)的单调性 研究其零点,由a0,f(x)在(-,+)单调递减,f(x)至多有一个零点;由 a0时f(x)的单调性,易求f(x)的最小值,当f(x)min0,则由f(x)=0得x=-ln a. 当x(-,-ln a)时,