高中数学 第2章 推理与证明 2_3 数学归纳法优化训练 苏教版选修2-21

2.3 数学归纳法5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=(a1,nN*),验证n=1时等式的左边为（ ）A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3答案：C解析：当n=1时，左边=1+a+a2.2.用数学归纳法证明不等式+(n2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边（ ）A.增加了一项 B.增加了两项C.增加了B中的两项但减少了一项 D.以上均不正确答案：C解析：在n=k+1时，用k+1替换n,再与n=k时比较.3.用数学归纳法证明“1+1)”时，由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1答案：C解析：增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.4.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)与f(n)之间的关系为_.解析：设凸n+1边形为A1A2AnAn+1,连结A1An,则凸n+1边形的对角线是由凸n边形A1A2An的对角线再加A1An,以及从An+1点出发的n-2条对角线,即f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1.答案：f(n+1)=f(n)+n-110分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.若命题A（n）（nN*），n=k(kN*)时命题成立，则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0(n0N*)时命题成立，则有（ ）A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确答案：C2.用数学归纳法证明“1+2+22+2n-1=2n-1（nN*）”的过程中，第二步n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）A.1+2+22+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+2k-1=2k+1-1 D.1+2+22+2k-1+2k=2k-1+2k答案：D3.已知数列an是首项为a1，公比为q的等比数列.（1）求和:a1-a2+a3=_;a1-a2+a3-a4=_.(2)由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论为_.解析：（1）a1-a2+a3=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2,a1-a2+a3-a4=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3.(2)归纳猜想：左边结构为a1-a2+a3-a4+(-1)nan+1,右边为a1(1-q)n.答案：(1)a1(1-q)2 a1(1-q)3 (2)a1-a2+a3-a4+(-1)na n+1=a1(1-q)n4.使|n2-5n+5|=1不成立的最小的正整数是_.解析:n=1、2、3、4代入验证成立，而n=5验证不成立.答案:55.用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在验证n=1正确后，归纳假设应写成_.解析:第k个奇数为2k-1.答案:假设n=2k-1(kN+)时命题成立6.已知Sn=1+(n1,nN*),求证:1+(n2,nN*).证明:(1)当n=2时,=1+=1+2,即n=2时命题成立.(2)设n=k时命题成立,即=1+1+,当n=k+1时,=1+1+1+ =1+=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)知,对nN*,n2, 1+都成立.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.设f(n)=1+12n-1，则f(k+1)- f(k)等于（ ）A. B.+C.+ D.+答案：D解析:n=k时，f(k)=1+.n=k+1时,f(k+1)=1+.f(k+1)-f(k)=+.2.如果命题p(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2也成立，则下列结论正确的是（ ）A.p(n)对所有正整数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立 D.p(n)对所有自然数n都成立答案：B3.用数学归纳法证明（n+1）(n+2)（n+n）=2n13（2n-1）(nN*),从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（ ）A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.答案：B4.若f(n)=1+(nN*),则n=1时，f(n)是（ ）A.1 B. C.1+ D.非以上答案答案：C5.数列an中,a1=2,an+1=(nN*).依次计算a2、a3、a4后归纳、猜想出an的表达式为_.解析:容易求得a2=,a3=,a4=.an=.答案:an=6.证明1+(nN*)，假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项有_项.解析:2k+1-1-2k+1=2k.答案:2 k7.数列an满足Sn=2n-an,先计算数列的前4项，后猜想an并证明之.解:由a1=2-a1,得a1=1,由a1+a2=22-a2,得a2=.由a1+a2+a3=23-a3,得a3=.由a1+a2+a3+a4=24-a4,得a4=.猜想an=.下面证明猜想正确.(1)当n=1时，由上面的计算可知猜想是成立的.(2)假设当n=k时猜想成立，那么ak=,此时Sk=2k-ak=2k.当n=k+1时,由Sk+1=2(k+1)-ak+1得Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1.ak+1=2(k+1)-Sk=k+1(2k)=.这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可以断定,an=对任意正整数n都成立.8.已知函数f(x)的定义域为0，1，且满足下列条件：对于任意x0,1,总有f(x)3,且f(1)=4；若x10,x20,x1+x22,则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)-3.(1)求f(0)的值.(2)求证：f(x)4.(3)当x(,（n=1,2,3,)时，试证明f(x)3x+3.解析：（1）令x1=x2=0,由对于任意x0，1，总有f(x)3,f(0)3.又由得f(0)2f(0)-3,即f(0)3;f(0)=3.(2)任取x1,x20，1，且设x1x2.则f(x2)=fx1+(x2-x1)f(x1)+f(x2-x1)-3,03+3=+3f()，而x0，1，f(x)单调递增，f(x)f().f(x)f()3x+3.9.已知an=1+(nN*),是否存在n的整式q(n)，使得等式a1+a2+an-1=q(n)(an-1)对于大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论.解:假设存在q(n)，去探索q(n)等于多少.当n=2时，由a1=q(2)(a2-1),即1=q(2)(1+-1)，解得q(2)=2.当n=3时，由a1+a2=q(3)(a3-1)，即1+(1