高中数学 2_1 向量的概念及表示互动课堂学案 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 2.1 向量的概念及表示互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.位移的概念 在物理学中，研究物体在平面内的位置和运动规律时，一般忽略它的大小，把它看作是一个质点，用点表示它在平面的位置.一个质点从点A运动到A，如果我们不考虑它的运动路线，只考虑点A相对A的“方向”和“直线”距离，我们说质点在平面上作了一次位移，因此位移被“方向”与“距离”唯一确定，位移只表示位置的变化，起、终点间的位置关系，而与质点实际运动的路线无关.特别提示：从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们可将它们看成是相同的位移或相等的位移.2.向量的概念及表示（1）向量的概念 在高中阶段，我们暂且把具有大小和方向的量叫做向量，更具体一些，向量可以理解为“一个位移”或表达“一个点相对于另一点的位置”的量.有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是既有大小，又有方向，并且还有作用点的向量.有些向量只有大小与方向；而无特定的位置.例如，位移、速度等.通常将后一种向量叫做自由向量.以后无特殊说明，我们所提到的向量，都是自由向量，即我们高中阶段所研究的向量只有大小、方向两个要素，如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向量相等.疑难疏引 由于向量是具有大小和方向的量，所以向量不能比较大小.这是向量与数量的不同之处.（2）向量的表示方法用有向线段来表示的几何表示法.从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在B处画上箭头表示位移的方向，此时线段AB具有从A到B的方向.具有方向和长度的线段，叫做有向线段.点A叫做始点，点B叫做终点，记作，应注意始点一定要写在终点的前面.的长度（或模）记作|.如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量. 用有向线段表示向量，显示了图形的直观性，是向量的直观形象.有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度即是位移的距离，位移的距离叫做向量的长度，尽管可以用有向线段来表示向量，但不是说向量就是有向线段.用字母表示向量向量除了用上面的符号表示外，通常在印刷时用小写黑体字母a、b、c来表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字母、以后随着学习的深入，在建立坐标系后，向量也可用坐标来表示，使向量真正成为数形结合的载体.3.向量的相关概念（1）向量的模如果=a，那么的长度|就表示向量a的大小，也叫做a的长（或模）记作|a|.疑难疏引 向量不同于数量，数量之间可以比较大小，而向量由大小和方向两个要素所确定，由于方向不能比较大小，因此，“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.向量无大小之分，却有相等这一概念，向量的模（正数或零）可以比较大小.（2）零向量长度等于零的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向不确定，是任意的.（3）相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若a与b相等，记作a=b.任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.（4）向量的共线（平行） 通过有向线段的直线，叫做向量的基线（如右图）.如果向量的基线平行或重合，则称这些向量共线或平行.共线非零向量方向相同或相反.向量a平行于b，记作ab.规律总结 （1）向量的平行与共线是一个意思，这与平面几何中的平行与共线的概念不同.相等的向量一定是平行（共线）向量，而平行（共线）的向量却不一定相等.（2）零向量是一个比较特殊的向量，我们规定零向量与零向量相等，且零向量与任意向量都平行.4.用向量表示点的位置给定一定点O及向量a，如左下图.过点O作有向线段=a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，此向量是，又叫做点A相对于点O的位置向量. 例如，在谈到天津相对于北京的位置时（如右上图），我们说，“天津位于北京东偏南50，114 km.”在图中，我们用O表示北京的位置，点A表示天津的位置，那么向量=“东偏南50，114 km”就表示了天津相对于北京的位置.活学巧用【例1】一人从点A出发，向东行走500 m到达B点，接着又南行走500 m到达C点，则该人行走的路程是_m，位移是_.解析：“路程”与“位移”是两个不同的概念.在本题中，这个人所行走的路程是1 000 m，而想要描述位移，则要说明由A到C的方向及AC的直线距离.即位移被“方向”与“距离”唯一确定.A为起点，C为终点，显然，C在A的东南方向m处，故这个人的位移是“东南方向，m”.答案：1 000 东南方向，m【例2】有下列物理量，其中不是向量的有（ ）质量 速度 位移 力 加速度 路程密度 功A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：本题主要考查向量的概念，确定一个量是不是向量，就是看它是否同时具备大小与方向两个要素，由物理知识可知，速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的.所以是向量，而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，不是向量.答案：D【例3】如图，在菱形ABCD，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）A.与 B.与 C.与 D.与解析：本题即判断选项中的两个向量是否相等.由相等向量的概念知，只要两向量的大小、方向都相同，即可说明两向量相等.A中的与大小虽相同，但方向不一致，故A错；B中的与大小、方向都相同，故是相等向量；C中的与向量方向不相同；D中的与方向也不相同，故C、D皆错.答案：B【例4】长度为1的向量叫做单位向量，对于下列各种情况，各平面向量的终点的集合分别构成什么图形？（1）把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；（2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的P；（3）把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P.解析：本题可通过画出图形，帮助思考，从而解决问题.（1）向量的终点构成的图形是以P为圆心，以1为半径的圆；（2）向量的终点构成的图形是直线l上与点P距离为1个单位长的两个点；（3）图形是直线l.点评：（2）与（3）的区别是：（2）中的向量是单位向量，（3）中的向量是任意长度的向量，再一个是（2）中向量终点的集合是两个点，不是一个点.【例5】设O为ABC的外心，则、是（ ）A.相等向量 B.平行向量C.模相等的向量 D.起点相同的向量解析：ABC的外心，即ABC的外接圆的圆心，它到A、B、C三点的距离相等，即有|=|=|.答案：C【例6】关于零向量，下列说法正确的个数是（ ）零向量是没有方向的 零向量的长度为0 零向量与任一向量平行 零向量的方向是任意的A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析：零向量的方向是任意的，并不是没有方向，故正确，由零向量的概念及规定，也是正确的，故正确的个数为3个.答案：D【例7】如右图，ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.（1）写出与共线的向量；（2）写出与的模大小相等的向量；（3）写出与相等的向量.分析：先利用三角形中位线的性质解决线段的平行和相等关系，然后再转化为向量的共线与平行、相等问题。解决本题应充分理解向量的平行（共线）、相等向量、模相等的向量等概念.解：（1）E、F分别是AC、AB的中点，EFBC.又D是的中点.与共线的向量有、.(2)与模相等的向量有、.（3）与相等的向量有、.【例8】设在平面上任意确定的一点O，点P在点O“东偏北60，3 cm”处，点Q在点O“南偏西30，3 cm”处，画出点P、Q相对于点O的位置向量，并说明P相对于Q的位置向量.解析：点P、Q相对于O的位置向量分别是