高中数学 第一章 计数原理 2 排列学案 北师大版选修

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求2排列学习目标重点难点1.能说出排列的概念2能利用计数原理推导排列数公式3能利用排列数公式解决简单的实际问题.重点：排列的概念及排列数公式难点：利用排列数公式解决有关问题.1排列一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题预习交流1如何判断一个问题是排列问题？提示：判断一个问题是否为排列问题的依据是，是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同元素中任取m(mn)个不同元素的问题就是排列问题，而判断它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化则无顺序2排列数我们把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.An(n1)(n2)(nm1).规定A1.当mn时，An(n1)(n2)21.我们把n(n1)(n2)21记作n！，读作：n的阶乘我们规定0！1.预习交流2如何理解和记忆排列数公式？提示：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的排列，一共有An(n1)(n2)(nm1)种，排列数公式中的第一个数是n，依次递减1，最后一个数为(nm1)，共有m个连续自然数相乘1排列问题下列三个问题中，是排列问题的是_(1)在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分别作为主队和客队各赛一场)若共有12支球队参赛，问共需进行多少场比赛？(2)在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”，共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行循环，问在小组循环赛中共需进行多少场比赛？(3)在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采用“抽签捉对淘汰制”决出冠军若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？思路分析：变换元素的顺序，看结果有无影响，如有影响，则是排列问题，否则，不是答案：(1)解析：对于(1)，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于(2)，由于是组内循环，故甲，乙两队之间只需进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于(3)，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题下列问题是排列问题吗？并说明理由(1)从1,2,3,4四个数字中任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？解：(1)不是排列问题；(2)是排列问题理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个数做加法时，与两个数的位置无关，但做除法时，两个数谁做除数，谁做被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题判断排列问题注意：(1)与排列顺序有关；(2)元素互不相同；(3)一次抽取2排列数问题解方程：3A2A6A.思路分析：先把式中的排列数转化为关于x的表达式，注意A中mn且m，n为正整数的限制条件，再求解关于x的方程解：由3A2A6A，得3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)x3，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100.解得，x5或x(舍)，x5.解不等式：A6A.解：由排列数公式，原不等式可化为6，6，解得x75.又2x8.又x为整数，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7,8有关以排列数公式形式给出的方程、不等式，应根据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解，但应注意其中的字母都是满足一定条件的自然数3排列数字问题用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？思路分析：本题的限制条件是：(1)个位数字必须是偶数；(2)是个四位数；(3)无重复数字解：第一步：排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有A种排法；第二步：排千、百、十这三个数位上的数，有A种排法根据分步乘法计数原理，适合条件的四位数的个数是AA360.这样的四位数有360个由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？解：方法一：因为0和5不能排在首位或个位，先将它们排在中间4个数位上有A种排法，再排其他4个数位有A种排法，由分步乘法计数原理，共有AA1224288个数符合要求方法二：因为首位和个位上不能排0和5，所以先从1,2,3,4中任选2个排在首位和个位，有A种排法，再排中间4位数有A种排法，由分步乘法计数原理，共有AA1224288个符合要求方法三：六个数位的全排列共有A个，其中有0排在首位或个位上的有2A个，还有5排在首位或个位上的也有2A个，其中不合要求的要减去，但这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法2A种，所以有A4A2A288个符合要求关于数字问题要注意，首位数字不能为0，其次注意特殊位置或特殊数字，再考虑其他位置或其他数也可用全排列数减去不合要求的数1已知A7A，则n的值为()A6 B7 C8 D2答案：B解析：由排列数公式，得n(n1)7(n4)(n5)，3n231n700，解得n7或n(舍)2将五辆车停在5个车位上，其中A车不停在1号车位上，不同的停车方案有()种A24 B78 C96 D120答案：C解析：A车不停在1号车位上，可先将A车停在其他四个车位中的任何一个车位上，有4种可能，然后将另外四辆车在剩余的四个车位上进行全排列，有A种停法，由分步乘法计数原理，得共有4A42496种停车方案3用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数有()个A36 B30 C40 D60答案：A解析：当个位数字分别为1,3,5时，百位、十位上数字的排列总数均为A12个，由分类加法计数原理知，没有重复数字的三位奇数共有12121236(个)4从甲、乙、丙、丁4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块试验田上进行试验，其中甲品种必须入选，则不同的种植方法有_种答案：18解析：本题相当于从4个元素中取出3个元素的排列，其中甲元素必取，优先考虑甲元素，先排甲，有A种方法，再从乙、丙、丁三个元素中选出两个元素的排列有A种方法，则满足条件的排列有AA18种不同的种植方法5用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，求其中数字1,2相邻的偶数的个数解：分三类：第一类：末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成2A12个五位数；第二类：末位数字为2，则1与2相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2A4个五位数；第三类：末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则有2