中考数学专题复习 数学思想试题

到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”数学思想数学思想是连接基础知识与解题能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路.中考常用的数学思想有：整体思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，要注意领会例题中所体现的数学思想，培养用数学思想解题的意识图1数形结合思想例（2015盘锦）图1是二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴是直线x=-2关于下列结论：ab0；b2-4ac0；9a-3b+c0；b-4a=0；方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=-4，其中正确的结论有（）A B C D解析：由图象，可得抛物线开口向下，a0，对称轴为x=-=-2，b=4a0，所以ab0，错误，正确；抛物线与x轴有两个交点，交于-4，0两点，所以b2-4ac0，正确；当x=-3时，y0，即9a-3b+c0，所以错误.故正确的有，选B跟踪训练：图21.（2015宁德）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图2所示，下列各式正确的是（）Aa+b0 Ba-b0 Cab0 D02.（2015绵阳）图3是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（-2，1）和B（-2，-3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是_.图4图33.（2015黔西南州）如图，点A是反比例函数y=图象上的一个动点，过点A作ABx轴，ACy轴，垂足分别为B，C，矩形ABOC的面积为4，则k=_.整体思想图1例1 （2015金华）已知a+b=3,a-b=5，则代数式a2-b2的值是 .分析：将a2-b2分解因式，视a+b与a-b为一个整体，代入计算即可解： a2-b2=(a+b)(a-b)=35=15.例2（2015葫芦岛）如图1，在五边形ABCDE中，A+B+E=300，DP，CP分别平分EDC，BCD，则P的度数是（）A60 B65 C55 D50解析：根据五边形的内角和等于540，A+B+E=300，可得EDC +BCD=540-300=240，再根据角平分线的定义可得PDC+PCD=（EDC +BCD）=120，所以P=180-120=60故选A跟踪训练：1.（2015黔东南州）设x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，则x12+x22=（）A6 B8 C10 D122.（2015牡丹江）抛物线y=ax2+bx+2经过点（-2，3），则3b-6a=_.图23.（2015遂宁）如图2，在ABC中，AC=4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，BCN的周长是7 cm，则BC的长为（）A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm4.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购买铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购买铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么购买铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A1.2元 B1.05元 C0.95元 D0.9元5.（2015乌鲁木齐）先化简，再求值：（+），其中a满足a2-4a-1=0.方程思想例1（2015鄂尔多斯）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车.如图1，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN的夹角分别为22和31，ATMN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为 m（1）求BT的长（不考虑其他因素）；（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离.某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是 m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由（参考数据：sin22，tan22，sin31，tan31）图1分析：（1）在RtACT中，根据正切的定义，设AT=3x，CT=5x，在RtABT中利用三角函数表示出BT，即可列方程求解；（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进行比较即可解：（1）由图知ACT=31，ABT=22.在RtACT中，ACT=31，tan31=，所以设AT=3x，CT=5x.在RtABT中，ABT=22，tan22=，即，解得x.所以CT5，BTBC+CT+m.（2）20km/hm/s，0.2m，+，所以该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求例2（2015绵阳）如图2，在等边ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则CDE的正切值为_.图2解析：ABC为等边三角形，AB=AC，BAC=60.根据旋转的性质，可得AD=AE=5，DAE=BAC=60，CE=BD=6.ADE为等边三角形.图3DE=AD=5.如图3，过点E作EHCD于H，设DH=x，则CH=4-x.在RtDHE中，EH2=52-x2，在RtCHE中，EH2=62-（4-x）2.52-x2=62-（4-x）2，解得x=.EH=. 在RtDHE中，tanHDE=3.跟踪训练：1.（2015遵义）如果单项式-xyb+1与xa-2y3是同类项，那么（a-b）2015=_.2.（2015莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510，则这个多边形对角线的条数是（）A27 B35 C44 D543.如图4，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形ABCD.若边AB交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（）图5图4A B82 C D6 4.（2015柳州）如图5，矩形EFGH内接于ABC，且边FG落在BC上.若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为_.转化思想例1（2015资阳）如图1，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）A13 cm BcmC cmD cm图2图1分析：将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短，可知AB的长度即为所求解：将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离.AB=13（cm）图3故选A例2（2015沈阳）如图3，四边形ABCD是O的内接四边形，ABC=2D，连接OA，OB，OC，AC，OB与AC相交于点E（1）求OCA的度数；（2）若COB=3AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留和根号）.分析：（1）由内接四边形的性质得ABC+D=180，结合ABC=2D，可得D=60，AOC=2D=120，于是OCA的度数易得；（2）首先根据COB=3AOB可得AOB=30，从而COB为直角，然后利用S阴影=S扇形OBC-SOEC求解解：（1）四边形ABCD是O的内接四边形，ABC+D=180.ABC=2D，D+2D=180，解得D=60.AOC=2D=120.OA=OC，OAC=OCA=30.（2）COB=3AOB，AOC=AOB+3AOB=120，解得AOB=30.COB=AOC-AOB=90.在RtOCE中，OC=2 ，OE=OCtanOCE=2tan30=2.SOEC=OEOC=22=2，S扇形OBC= =3.S阴影=S扇形OBC-SOEC=3-2 图4评注：在求不规则的阴影部分的面积时常转化为几个规则几何图形的面积和或差.跟踪训练：1.（2015安顺）如图4，在ABCD中，AD=2，AB=4，A=30，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是_（结果保留）2.（2015金华）图5，图6为同一长方体房间的示意图，图7为该长方体的表面展开图.（1）蜘蛛在顶点A处.苍蝇在顶点B处时，试在图5中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；苍蝇在顶点C处时，图6中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AGC和往墙面BBCC爬行的最近路线AHC，试通过计算判断哪条路线更近.（2）在图7中，半径为10 dm的M与DC相切，圆心M到边CC的距离为15 dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线.若PQ与M相切，试求PQ的长度的范围.函数思想例1（2015黔南州）为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/时研究表明：当20x220时，车流速度v是车流密度x的一次函数（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/时且小于60千米/时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？（3）当车流量（辆/时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度车流密度当20x220时，求彩虹桥上车流量y的最大值.解析：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b.由题意，得解得所以当20x220时，v=-x+88.当x=100时，v=- 100+88=48（千米/时）.（2）由题意，得解得70x120.所以应控制彩虹桥上的车流密度在70x120范围内.（3）当20x220时，y=vx=（-x+88）x=-（x-110）2+4840.所以当x=110时，y最大，为4840.所以当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值，为每小时4840辆例2（2015丽水）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）00.160.20.40.60.640.8x（米）00.40.511.51.62y（米）0.250.3780.40.450.40.3780.25（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x-3)2+k.用含a的代数式表示k；如图1，球网高度为0.14米，球桌长（1.42）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值.图1分析：（1）由表格中数据可直接得出.（2）判断出y是x的二次函数，设顶点式，求出y关于x的解析式，y=0时的x值即为所求.（3）由（2）可得乒乓球落在桌面时的坐标，代入y=a(x-3)2+k即可得结果.图2由题意，易得扣杀路线在直线y=x上，将y=x代入y=a(x-3)2+k，得20ax2-(120a+2)x+175a=0，由于球弹起后，恰好有唯一的击球点，所以方程根的判别式等于0，求出此时的a，符合题意的即为所求.解：如图2，以点A为原点，桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向，建立平面直角坐标系.（1）由表格中数据，可得当t=0.4秒时，乒乓球达到最大高度.（2）由表格中数据，可判断y是x的二次函数，且顶点为（1，0.45），所以可设y=a(x-1)2+0.45.将（0，0.25）代入，得0.25=a(0-1)2+0.45，a=-0.2.所以二次函数的解析式为y=-0.2(x-1)2+0.45.当y=0时，-0.2(x-1)2+0.45=0，解得x1=0.25，x2=-0.5（舍去）.所以乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米.（3）由（2）得乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）.将（2.5，0）代入y=a(x-3)2+k，得0=a(2.5-3)2+k，化简，得k=-a.由题意，可知扣杀路线在直线y=x上，由得y=a(x-3)2-a.令a(x-3)2-a=x，整理，得20ax2-(120a+2)+175a=0.当=(120a+2)2-420a175a=0时，符合题意，解得.当时，求得，不合题意，舍去；当时，求得，符合题意.所以当时，可以将球沿直线扣杀到点A.跟踪训练：1.（2015自贡）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分的速度骑回出发地.下列函数图象能表达这一过程的是（） ABCD2.（2015沈阳）如图3，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足图4中的图象，则至少需要_ s能把小水杯注满.图5图3图4O3.（2015衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图56所示（当4x10时，y与x成反比例）（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？5.（2015济宁）小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元，乙种每件进价60元，售价90元计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0a20）元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？图1分类讨论思想例1（2015赤峰）如图1，已知二次函数y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数的解析式；（2）连接DC，BC，DB，求证：BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.分析：（1）将A（-1，0），C（0，3）代入二次函数y=ax2+bx-3a，即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC，CD，BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论，运用两点间距离公式建立起点P横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解解：（1）将点A（-1，0），C（0，3）代入二次函数y=ax2+bx-3a，得解得所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3（2）由二次函数解析式y=-x2+2x+3，可得点D坐标为（1，4），点B坐标为（3，0），所以CD=，BC=3，BD=2.因为CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，所以CD2+BC2=BD2，BCD是直角三角形.图2（3）存在，如图2.若以CD为底边，则P1D=P1C.设点P1的坐标为（x，y），易得P1C2=x2+（3-y）2，P1D2=（x-1）2+（4-y）2， 因此x 2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2，即y=4-x又点P1在抛物线上，所以4-x=-x2+2x+3，即x2-3x+1=0，解得x1=，x2=1（舍去）.所以x=，y=4-x=，即点P1的坐标为（，）若以CD为一腰.点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性，知点P与点C关于直线x=1对称，此时点P2的坐标为（2，3）图3所以符合条件的点P的坐标为（，）或（2，3）例2（2015连云港）如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x2与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，P的半径为1(1）判断原点O与P的位置关系，并说明理由；(2）当P过点B时，求P被y轴所截得的劣弧的长；(3）当P与x轴相切时，求出切点的坐标分析：（1）由直线y=x2易得点A，B的坐标，从而得OBA=30，然后过点O作OHAB于点H，利用三角函数可求得OH的长，继而可得结论；(2）当P过点B，点P在y轴右侧时，易得P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为120，则可求得弧长；同理可求得当P过点B，点P在y轴左侧时，P被y轴所截得的劣弧的长；(3）首先求得当P与x轴相切，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对称性可得当P与x轴相切，且位于x轴上方时，点D的坐标解：（1）原点O在P外理由：由已知，易得A（2，0），B（0，2）.在RtOAB中，tanOBA=，所以OBA=30.如图4，过点O作OHAB于点H.在RtOBH中，OH=OBsinOBA=.1，所以原点O在P外. (2）如图5，当P过点B，点P在y轴右侧时，设P与y轴的另一交点为C.因为PB=PC，所以PCB=OBA=30.所以P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：1803030=120，弧长为=；同理：当P过点B，点P在y轴左侧时，弧长同样为.所以当P过点B时，P被y轴所截得的劣弧的长为.(3）如图6，当P与x轴相切，且位于x轴下方时，设切点为D，因为PDx轴，所以PDy轴，APD=ABO=30.在RtDAP中，AD=DPtanDPA=1tan30=，OD=OAAD=2.所以此时点D的坐标为（2，0）；当P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性，可得此时切点的坐标为（2+，0）.综上可得，当P与x轴相切时，切点的坐标为（2，0）或（2+，0）跟踪训练：1.（2015荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A8或10 B8 C10 D6或122.（2015湖北）在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，EBD=20，则A的度数为_.3.（2015酒泉）ABC为O的内接三角形，若AOC=160，则ABC的度数是（）图7A80 B160 C1