高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标12函数模型及其应用理

20182018 年高考数学一轮复习年高考数学一轮复习 第二章第二章 函数、导数及其应用函数、导数及其应用 课时达标课时达标 1212 函数模型及其应用函数模型及其应用 理理 解密考纲本考点考查函数在实际生活中的应用等在近几年的高考中选择题、填空 题、解答题都出现过选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考 查，题目难度中等 一、选择题 1(2017湖南永州模拟)某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销 售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映 销量y与投放市场的月数x之间关系的是( C ) Ay100xBy50x250x100 Cy502xDy100log2x100 解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数 据验证即可得，应选 C 2(2016河北唐山检测)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉 6 吨，每吨 面粉的价格为 1 800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支 付运费 900 元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少( B ) A9 天B10 天 C11 天D12 天 解析：设该厂应每隔x天购买一次面粉，则购买量为 6x吨，由题意可知，面粉的保管 等其他费用为 36x6(x1)6(x2)619x(x1)， 设平均每天所支付的总费用为y1元，则 y11 80069x10 809 9xx1900 x 900 x 210 80910 989， 900 x 9x 当且仅当 9x，即x10 时取等号 900 x 即该厂每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少，故选 B 3国家规定某行业征税如下：年收入在 280 万元及以下的税率为p%，超过 280 万元 的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是( D ) A560 万元B420 万元 C350 万元D320 万元 解析：设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意，得 yError! 依题意有，(p0.25)%，解之得x320(万 280 p%x280 p2% x 元) 4世界人口在过去 40 年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据 lg 20.301 0,100.007 51.017)( C ) A1.5%B1.6% C1.7%D1.8% 解析：设每年世界人口平均增长率为x，则(1x)402，两边取以 10 为底的对数，则 40lg(1x)lg 2，所以 lg(1x)0.007 5，所以 100.007 51x，得 lg 2 40 1x1.017，所以x1.7%. 5某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月 增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知本年 9 月份两 食堂的营业额又相等，则本年 5 月份( A ) A甲食堂的营业额较高 B乙食堂的营业额较高 C甲、乙两食堂的营业额相同 D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 解析：设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙 食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m8am(1x)8，则 5 月份甲食堂 的营业额y1m4a，乙食堂的营业额y2m(1x)4，因为 mm8a yy(m4a)2m(m8a)16a20，所以y1y2，故本年 5 月份甲食堂的营业额较高 2 12 2 6(2017北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房当每套房月 租金定为 3000 元时，这 70 套公寓能全租出去；当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍)，就会多一套房子不能出租设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元的日 常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)要使公司获得最大利润，每套房月租 金应定为( B ) A3 000 元B3 300 元 C3 500 元D4 000 元 解析：由题意，设利润为y元，租金定为 3 00050x元(0x70，xN N) 则y(3 00050x)(70x)100(70x) (2 90050x)(70x) 50(58x)(70x)50 2， ( 58x70x 2 ) 当且仅当 58x70x，即x6 时，等号成立，故每月租金定为 3 0003003 300(元)时，公司获得最大利润，故选 B 二、填空题 7某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从 这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为 180. 解析：依题意知：，即x (24y)，y8,24)， 20x x y8 24y 5 4 阴影部分的面积Sxy (24y)y (y224y)， 5 4 5 4 当y12 时，S有最大值为 180. 8有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩 形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为 2_500_m2(围墙厚度不计) 解析：设矩形场地的宽度为x m，则矩形场地长(2004x)m，面积Sx(2004x) 4(x25)2 2 500.故当x25 时，S取得最大值 2 500，即围成场地的最大面积为 2 500 m2. 9(2017山东潍坊模拟)某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到西 红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据关系如下表： 时间t 60100180 种植成本Q 11684116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变 化关系 Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt 利用你选取的函数，求得： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 120. (2)最低种植成本是 80(元/100 kg) 解析：根据表中数据可知函数不单调， 所以Qat2btc且开口向上， 对称轴t120. b 2a 60180 2 代入数据Error!得Error! 所以西红柿种植成本最低时的上市天数是 120，最低种植成本是 14 400a120bc14 4000.01120(2.4)22480. 三、解答题 10(2017湖北鄂州月考)如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀， 其中AE4 米，CD6 米为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形块 BNPM，使点P在边DE上 (1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM面积的最大值 解析：(1)作PQAF于Q，所以PQ8y，EQx4， 在EDF中， EQ PQ EF FD 所以 ， x4 8y 4 2 所以yx10， 1 2 定义域为x|4x8 (2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)xyx (x10)250，所以S(x)是 (10 x 2) 1 2 关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x10， 所以当x4,8，S(x)单调递增，所以当x8 米时，矩形BNPM面积取得最大值 48 平方米 11某产品原来的成本为 1 000 元/件，售价为 1 200 元/件，年销售量为 1 万件，由 于市场饱和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级据市场调查，若投入x万元， 每件产品的成本将降低x元，在售价不变的情况下，年销售量将减少 万件，按上述方式 3 4 2 x 进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f(x)(单位：万元) (1)求f(x)的函数解析式； (2)求f(x)的最大值，以及f(x)取得最大值时x的值 解析：(1)依题意，产品升级后，每件的成本为 1 000元，利润为 200元，年 3x 4 3x 4 销售量为 1 万件， 2 x 纯利润为f(x)x198.5 . (200 3x 4)(1 2 x) 400 x x 4 (2)f(x)198.5 198.52178.5，当且仅当 ， 即 400 x x 4 400 x x 4 400 x x 4 x40 时等号成立 所以f(x)取最大值时的x的值为 40. 12某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.80 元，当 用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户 该月用水量分别为 5x吨，3x吨 (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费 解析：(1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x4，乙的用水量也不超过 4 吨， y1.8(5x3x)14.4x； 当甲的用水量超过 4 吨，乙的用水量不超过 4 吨时，即 3x4，且 5x4， y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8. 当乙的用水量超过 4 吨时，即 3x4， y241.83(3x4)(5x4)24x9.6