高考数学大一轮复习 第六章 数列 6_3 等比数列及其前n项和教师用书 理 苏教版

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和教师用书 理 苏教版1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0).2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*).(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列.5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6.等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.【知识拓展】等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列.(2)满足或时，an是递减数列.(3)当时，an为常数列.(4)当q0时，an为摆动数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列.()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.()1.(教材改编)等比数列an中，a22，a5，则公比q_.答案解析a2a1q2，a5a1q4，q3，q.2.(教材改编)下列关于“等比中项”的说法中，正确的是_(填序号).任何两个实数都有等比中项；两个正数的等比中项必是正数；两个负数的等比中项不存在；同号两数必存在互为相反数的两个等比中项.答案解析一正数、一负数没有等比中项；两个正数的等比中项有两个，它们一正、一负；两个负数a，b的等比中项为；所以、错误，易知正确.3.设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6_.答案63解析根据题意知，等比数列an的公比不是1.由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.4.(教材改编)设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4_.答案3解析由S64S3，所以4，所以q33(q31不合题意，舍去)，所以a4a1q3133.5.设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2015课标全国)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2_.(2)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则_.答案(1)(2)2n1解析(1)由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.(2)由除以可得2，解得q，代入得a12，an2()n1，Sn4(1)，2n1.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5_.(2)(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.答案(1)(2)3n1解析(1)显然公比q1，由题意得解得或(舍去)，S5.(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又由，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2).bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列.(2)解由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列.(n1)，故an(3n1)2n2.引申探究若将例2中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式.解由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，n2，(*)又a11，S2a1a22a12，即a212(a11)，当n1时(*)式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：.证明(1)由an13an1，得an13(an).又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列.所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1(1)，所以0)，由正项等比数列an满足a2 0152a2 013a2 014，可得a2 013q22a2 013a2 013q，q2q20，q0，q2.4a1，qmn216，mn6.(mn)，当且仅当，即m2，n4时取等号.故的最小值为.10.(2016苏锡常镇一调)设数列an是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则数列an的公差为_.答案2解析设公差为d，其中d0，则S1，S2，S4分别为1,2d,46d.由S1，S2，S4成等比数列，得(2d)246d，即d22d.因为d0，所以d2.*11.(2016苏北四市期末)已知各项均为正数的数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项和，且满足anSn1an1Snanan1anan1(0，nN*).(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数的值；(2)若，求Sn.解(1) 令n1，得a2.令n2，得a2S3a3S2a2a3a2a3，所以a3.由aa1a3，得()2，因为0，所以1. (2)当时，anSn1an1Snanan1anan1，所以，即，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以2(n1)，即Sn1()an，当n2时，Sn11(1)an1，得，ananan1，即(n1)an(n2)an1，所以(n2)，所以是常数列，且为，所以an(n2).代入得Sn()an1.12.已知an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示an的前n项和.(1)求an及Sn；(2)设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2(a41)qS40，求bn的通项公式及其前n项和Tn.解(1)因为an是首项a11，公差d2的等差数列，所以ana1(n1)d2n1.故Sn13(2n1)n2.(2)由(1)得a47，S416.因为q2(a41)qS40，即q28q160，所以(q4)20，从而q4.又因为b12，bn是公比q4的等比数列，所以bnb1qn124n122n1.从而bn的前n项和Tn(4n1).13.(2016全国丙卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式.解(1)由题意，得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1).因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.14.已知数列an中，a11，anan1n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.解(1)anan1n，an1an2n1，即an2an.bna2na2n1，a11，a1a2，a2b1a1a2.bn是首项为，公比为的等比数列.bnn1.(2)由(1)可知，an2an，a1，a3，a