高中数学 第二章 推理与证明 2_2 直接证明与间接证明（第2课时）课堂探究 新人教a版选修1-21

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明（第2课时）课堂探究 新人教A版选修1-2探究一 用反证法证明否定式命题对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，不但过程烦琐而且容易遗漏，故可用反证法，一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”“不存在”等词语时，宜采用反证法证明【典型例题1】已知a，b，c，dR，且adbc1，求证a2b2c2d2abcd1.思路分析：本题要证的结论是以否定形式给出的，并且从正面入手不太好处理，因此使用反证法证明证明：假设a2b2c2d2abcd1.adbc1，a2b2c2d2abcdadbc.a2b2c2d2abcdbcad0.2a22b22c22d22ab2cd2bc2ad0.(ab)2(bc)2(cd)2(ad)20.ab0，bc0，cd0，ad0.abcd0，adbc0，这与adbc1矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即a2b2c2d2abcd1成立规律小结 反证法的具体步骤是：(1)提出假设：作出与求证的结论相反的假设，否定结论；(2)推出矛盾：由假设出发，推出与公理、定义、已知定理或题设相矛盾的结果；(3)肯定结论：出现矛盾是因为“否定结论”所致，由此得出原命题成立探究二 用反证法证明“至多”“至少”型命题“至多”“至少”问题，直接证明比较复杂，可用反证法证明，体现了“正难则反”的思想方法【典型例题2】已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点思路分析：证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.同向不等式求和得4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ac0.(ab)2(bc)2(ac)20.abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证温馨提示 反证法常用的否定形式如下表所示：原语句是都是至多有一个至少有一个否定形式不是不都是至少有两个一个都没有原语句对任意x都成立存在某个x成立至少有n个成立至多有n个成立p或qp且q否定形式存在某个x不成立对任意x都不成立至多有(n1)个成立至少有(n1)个成立非p且非q非p或非q探究三 用反证法证明“唯一”型命题证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便【典型例题3】证明方程2x3有且只有一个根证明：2x3，xlog23.这说明方程有一个根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3有两个根b1，b2(b1b2)，则3,3.两式相除，得.如果b1b20，则1，这与相矛盾；如果b1b20，则1，这也与相矛盾因此b1b20，则b1b2，这就同b1b2相矛盾如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾故2x3有且只有一个根注意 “有且只有”表示“存在且唯一”因此，在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑，而证明唯一性时，通常使用反证法探究四 易错辨析易错点漏用假设的结论致错【典型例题4】已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5p20无实根错解：假设方程x22x5p20有实根由已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，解得2p.又关于x的方程x22x5p20的根的判别式4(p24)，2p，0.即关于x的方程x22x5p20无实根错因分析：反证法证明问题的步骤为假设结论不成立，经过推理得出矛盾，否定假设，肯定结论，而此解法没有用到假设的结论，不是反证法正解：假设方程x22x5p20有实根，则该方程的判别式44(5p2)0，解之得p2或p2，这与已知条件实数p满足不等式