高考数学一轮复习 第二章 函数导数及其应用 课时达标16 导数与函数的综合问题 理

20182018 年高考数学一轮复习年高考数学一轮复习 第二章第二章 函数、导数及其应用函数、导数及其应用 课时达标课时达标 1616 导数与函数的综合问题导数与函数的综合问题 理理 解密考纲本考点主要以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式 等知识，常考查恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题，综合 性较强，常作为压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大 1已知函数f(x)x2axaln x(aR R) (1)若函数f(x)在x1 处取得极值，求a的值； (2)在(1)的条件下，求证：f(x)4x. x3 3 5x2 2 11 6 解析：(1)f(x)2xa ，由题意可得 a x f(1)0，解得a1. 经检验，a1 时f(x)在x1 处取得极值，所以a1. (2)由(1)知，f(x)x2xln x，令g(x)f(x) 3xln x， ( x3 3 5x2 2 4x11 6) x3 3 3x2 2 11 6 由g(x)x23x3 3(x1)(x0)，可知g(x)在(0,1)上 1 x x31 x x13 x 是减函数，在(1，)上是增函数， g(x)ming(1) 30，当x0 时，g(x)g(1)0，于是f(x) 1 3 3 2 11 6 4x. x3 3 5x2 2 11 6 2设函数f(x)x2ln(x1)，其中b0. 证明：对于任意的x1，x21，)，且x1x2，都有 . fx1fx2 x1x2 5 2 证明：f(x)x2ln(x1)， 令h(x)f(x)xx2ln(x1)x(x1)， 5 2 5 2 h(x)2x ， 1 x1 5 2 4x3x1 2x1 当x1 时，h(x)0，所以函数h(x)在1，)上是增函数 由已知，不妨设 1x1 . 5 2 5 2 fx1fx2 x1x2 5 2 3(2015北京卷)设函数f(x)kln x，k0. x2 2 (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点 e 解析：(1)由f(x)kln x(k0)，得x0 且f(x)x .由f(x) x2 2 k x x2k x 0，解得x(负值舍去) k f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下： x (0，) k k(，) k f(x) 0 f(x) k1ln k 2 所以，f(x)的单调递减区间是(0，)， k 单调递增区间是(，) k f(x)在x处取得极小值f(). kk k1ln k 2 (2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f()，因为 k k1ln k 2 f(x)存在零点，所以0，从而ke. k1ln k 2 当ke 时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0， ee 所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点 ee 当ke 时，f(x)在区间(1，上单调递减，且f(1) 0，f().所以a的取值范围为 a e e22e e1 . ( e22e e1 ，1) 5(2016辽宁调研)已知函数f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中 e 是 ln x x 自然对数的底数，aR R. (1)当a1 时，求f(x)的极值，并证明|f(x)|g(x) 恒成立； 1 2 (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为 3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明 理由 解析：(1)当a1 时，f(x)xln x，f(x)1 ，当 00，此时f(x)单调递增 f(x)的极小值为f(1)1，f(x)在(0，e上的最小值为 1. 令h(x)g(x) ，则h(x)， 1 2 ln x x 1 2 1ln x x2 当 00，则h(x)在(0，e上单调递增， h(x)maxh(e) g(x) 恒成立 1 2 (2)假设存在实数a，使f(x)axln x，x(0，e，有最小值 3，f(x)a 1 x . ax1 x 当a0 时，f(x)在(0，e上单调递减， f(x)minf(e)ae13，a (舍去)， 4 e a0 时，不存在实数a使f(x)的最小值为 3. 当 00 恒成立，f(x)在 R R 上为增函数又f(x)f(x)，故 f(x)为奇函数， 由f(mx2)f(x)0，得f(mx2)f(x)f(x)， mx2x即xmx20 对m2,2恒成立 记g(m)xmx2，m2,2， 则Error!解得2x ， 2 3 即x. (2， 2 3) 8(2015全国卷)设函数f(x)emxx2mx. (1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增； (2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围 解析：(1)证明：f(x)m(emx1)2x. 若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0； 当x(0，)时，emx10，f(x)0. 若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0； 当x(0，)时，emx10，f(x)0. 所以，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增 (2)由(1)知，对任意的m，f(x)在1,0单调递减，在0,1单调递增，故f(x)在 x0 处取最小值 所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1 的充要条件是Error!即 Error! 设函数g(t)ette1，则g(t)et1. 当t0 时，g(t)0；当t0 时，g(t)0. 故g(t)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增 又g(