高考数学一轮复习 第四章 导数及其应用 第20课 函数建模问题（一）函数导数不等式教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第20课 函数建模问题(一)函数、导数、不等式最新考纲内容要求ABC函数模型及其应用基本不等式在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用1常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0)(2)反比例函数模型：yb(k，b为常数且k0)(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(4)指数函数模型：yabxc(a，b，c为常数，b0，b1，a0)(5)对数函数模型：ymlogaxn(m，n，a为常数，a0，a1，m0)(6)幂函数模型：yaxnb(a0)2解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题()(3)形如“yx”型的函数最值均可以用基本不等式解决()(4)在用导数解决生活中的优化问题时，若定义域中的极值点只有一个，则该点也是最值点()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是_(填序号)x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61y2x；ylog2x；y(x21)；y2.61cos x.由表格知当x3时，y1.59，而中y238，不合要求，中ylog23(1,2)，中y(321)4，不合要求，中y2.61cos 30，不合要求3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)间的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_万件9因为yx281，所以当x9时，y0.所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增所以x9是函数的极大值点又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值4某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_20设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为2，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为x240，当且仅当x，即x20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨5(教材改编)用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90角，再焊接而成，则该容器的高为_ cm时，容器的容积最大10设容器的高为x cm，即小正方形的边长为x cm，该容器的容积为V，则V(902x)(482x)x4(x369x21 080x)，0x12，V12(x246x360)12(x10)(x36)，当0x0；当10x12时，V0，所以V在(0,10上是增函数，在10,12)上是减函数，故当x10时，V最大应用二次函数模型解决实际问题某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图.(注：利润和投资单位：万元)图201(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解(1)f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，所以总利润y8.25万元设B产品投入x万元，A产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为y万元则y(18x)2，0x18.令t，t0,3，则y(t28t18)(t4)2.所以当t4时，ymax8.5，此时x16,18x2.所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元规律方法求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围变式训练1甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100元(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润. 【导学号：62172110】解(1)证明：生产a千克该产品，所用的时间是小时，所获得的利润为100.所以，生产a千克该产品所获得的利润为100a元(2)生产900千克该产品，所用的时间是小时，获得的利润为90 000，1x10.记f(x)5,1x10，则f(x)325，当且仅当x6时，f(x)取到最大值f(6).获得最大利润90 000457 500(元)因此甲厂应以6千克/时的速度生产，可获得最大利润457 500元利用导数解决生活中的优化问题(2015江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连结两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图202所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型图202(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5,20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5,10)时，g(t)0，g(t)是减函数；当t(10，20)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.故当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米规律方法利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使得f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答变式训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【导学号：62172111】解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x0)”型的函数求最值常用基本不等式，但需注意其等号成立的条件，倘若等号取不到，要借助导数来求解如本题(2).变式训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x101021070(万元)，当且仅当6x10，即x5时等号成立，所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.课时分层训练(二十)A组基础达标(建议用时：30分钟)1.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k0)现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1，且x6时，y取得最小值，试求b的值解(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k0，从而点C处受污染程度y.(2)因为a1，所以y，yk，令y0，得x，又此时x6，解得b8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.2.某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 【导学号：62172112】解(1)设每件定价为x元，依题意，有x258，整理得x265x1 0000，解得25x40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解x210(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.B组能力提升(建议用时：15分钟)1.(2017南京模拟)经市场调查，某商品每吨的价格为x(1x0)；月需求量为y2万吨，y2x2x1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积(1)若a，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围解(1)若a，由y2y1，得x2x1x2.解得40x6.因为1x14，所以1x6.设该商品的月销售额为g(x)，则g(x)当1x6时， g(x)xg(6).当6x0，得x0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间6,14)上有零点，所以即解