高中数学1_3_2_1余弦函数的图象与性质学案新人教b版必修4

一岗双责落实还不到位。受事务性工作影响，对分管单位一岗双责常常落实在安排部署上、口头要求上，实际督导、检查的少，指导、推进、检查还不到位。余弦函数的图象与性质1.会用“五点法”、“图象变换法”作余弦函数和yAcos(x)的图象.(重点)2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.(难点)基础初探教材整理1余弦函数的图象阅读教材P51内容，完成下列问题.把正弦函数ysin x的图象向左平移个单位长度就得到余弦函数ycos x的图象，该图象叫做余弦曲线.图135用“五点法”作函数ycos 2x，xR的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A.0，2B.0，C.0，2，3，4D.0，【解析】令2x0，和2，得x0，故选B.【答案】B教材整理2余弦函数的性质阅读教材P52P53内容，完成下列问题.1.余弦函数的性质：函数ycos x定义域R值域1,1奇偶性偶函数周期性以2k为周期(kZ，k0)，2为最小正周期单调性当x2k，2k2(kZ)时，递增；当x2k，2k(kZ)时，递减最大值与最小值当x2k(kZ)时，最大值为1；当x2k(kZ)时，最小值为12.余弦型函数yAcos(x)(xR)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦函数ycos x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条.()(2)余弦函数ycos x的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.()(3)在区间0,3上，函数ycos x仅在x0时取得最大值1.()(4)函数ycos x在上是减函数.()【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型用“五点法”作余弦型函数的图象用“五点法”作函数y2cosx，x0,2的简图.【精彩点拨】在0,2上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可.【自主解答】列表：x02cos x101012cos x32123描点连线，如图1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点.2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点.再练一题1.用“五点法”作函数y32cos x，x0,2的简图.【解】按五个关键点列表，描点画出图象(如图).x02cos x10101y32cos x13531求余弦型函数的单调区间求函数ycos的单调递减区间.【导学号：72010027】【精彩点拨】本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将ycos化为ycos形式，故只需求ycos的单调递减区间即可.【自主解答】ycoscos，令zx，则ycos z，即2kz2k，kZ，2kx2k，kZ，2kx2k，kZ.故函数ycos的单调递减区间为，kZ.1.求形如yAcos(x)b(其中A0，w0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得.2.具体求解时注意两点：要把x看作一个整体，若0，0时，将“x”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间.再练一题2.(2016南京高一检测)求函数y2的单调递增区间.【解】y22.结合y|cos x|的图象.由kxk(kZ)得kxk(kZ).所以函数y2的单调递增区间为(kZ).有关三角函数的最值问题已知函数y1abcos x的最大值是，最小值是，求函数y4asin 3bx的最大值.【精彩点拨】欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解.【自主解答】函数y1的最大值是，最小值是.当b0时，由题意得当b0时，由题意得因此y2sin 3x或y2sin 3x.函数的最大值均为2.1.对于求形如yacos xb的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决.注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围.2.求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解.再练一题3.(2016日照高一检测)函数ysin2xcos x的值域为_.【解析】设cos xt，因为x，则t，所以y1cos2xcos x2，t，故当t，即x时，ymax；当t1，即x0时，ymin1.所以函数的值域为.【答案】探究共研型与正弦、余弦函数图象有关的零点问题探究1方程sin xx的实根个数有多少个？【提示】在同一坐标系内分别作出ysin x，yx图象可知在x0,1内，sin x1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.探究2函数f (x)cos x在0，)内有多少个零点？【提示】令f (x)0，所以cos x分别作出y，ycos x可知两函数只有一个交点，所以f (x)在0，)内只有一个零点.判断方程cos x0根的个数.【精彩点拨】当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.【自主解答】设f (x)，g(x)cos x，在同一直角坐标系中画出f (x)与g(x)的图象，如图：由图可知，f (x)与g(x)的图象有三个交点，故方程cos x0有三个根.1.求f (x)Asin x0(A0)或f (x)Acos x0(A0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y1与y1之间，只需考虑Af (x)A的x的范围，在该范围内f (x)的图象与Asin x或Acos x的图象的交点的个数即方程根的个数.2.准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解.再练一题4.求下列方程解的个数：(1)方程x2cos x0的实数解的个数是_.(2)方程sin xlg x的解的个数是_.【解析】(1)作函数ycos x与yx2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.(2)建立坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x，x0,2的图象，再依次向左、右连续平移2个单位，得到ysin x的图象.描出点，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所示.由图象可知方程sin xlg x的解有3个.【答案】(1)2(2)31.函数ycos x与函数ycos x的图象()A.关于直线x1对称B.关于原点对称C.关于x轴对称 D.关于y轴对称【解析】作出函数ycos x与函数ycos x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.【答案】C2.下列函数中，周期为的是()A.ysin B.ysin 2xC.ycos D.ycos 4x【解析】T，4.【答案】D3.(2016济南高一检测)函数ysin是()【导学号：72010028】A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.即是奇函数又是偶函数【解析】ysinsinsincos x，函数ysin是偶函数.【答案】B4.(2016山东省实验中学高一检测)函数ycos(x)，x0,2的单调递减区间是_.【解析】ycos(x)cos x，其单调递减区间为0，.【答案】0，5.用五点法作出函数y1cos x(0x2)的简图.【解】列表：x02cos x101011cos x01210描点连线，如图.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2016广州高一检测)已知函数f (x)cos x，下面结论错误的是()A.函数f (x)的最小正周期为2B.函数在区间上是增函数C.函数f (x)的图象关于直线x0对称D.函数f (x)是奇函数【解析】f (x)cos x的图象即为函数f (x)cos x的图象绕x轴翻转而成的，A、B、C均正确，函数f (x)应是偶函数，故选D.【答案】D2.(2016南昌高一检测)函数y|cos x|1的最小正周期是()A.2k(kZ)B.3C. D.2【解析】因为函数y|cos x|1的周期同函数y|cos x|的周期一致，由函数y|cos x|的图象知其最小正周期为，所以y|cos x|1的最小正周期也为，故选C.【答案】C3.函数y12cosx的最小值，最大值分别是()A.1,3 B.1,1C.0,3 D.0,1【解析】cosx1,1，2cosx2,2，y12cosx1,3的最小值为1，最大值为3.【答案】A4.下列关系式中正确的是()A.sin 11cos 10sin 168B.sin 168sin 11cos 10C.sin 11sin 168cos 10D.sin 168cos 10sin 11【解析】sin 168sin(18012)sin 12cos 78，sin 11cos 79.由余弦函数的单调性得cos 79cos 78cos 10，即sin 11sin 168|cos x|的x的取值范围是()A. B.C. D.【解析】sin x|cos x|，sin x0，x(0，)，在同一坐标系中画出ysin x，x(0，)与y|cos x|，x(0，)的图象，观察图象易得x.【答案】A二、填空题6.函数y2cos的最小正周期为4，则_.【解析】4，.【答案】7.利用余弦曲线，写出满足cos x0，x0,2的x的区间是_.【解析】画出ycos x，x0,2上的图象如图所示.cos x0的区间为.【答案】8.(2016徐州高一检测)函数ylg(2cos x)的定义域为_.【解析】由题意知2cos x0，即cos x，所以2kx2k(kZ)，即函数的定义域为(kZ).【答案】(kZ)三、解答题9.判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期.(1)y3cos 2x，xR；(2)ycos，xR.【导学号：72010029】【解】(1)把2x看成一个新的变量u，那么cos u的最小正周期为2，这就是说，当u增加到u2且必须至少增加到u2时，函数cos u的值重复出现.而u22x22(x)，所以当自变量x增加到x且必须至少增加到x时，函数值重复出现，因此，y3cos 2x的周期为.yf (x)3cos 2x，f (x)3cos(2x)3cos 2x，y3cos 2x为偶函数.(2)函数ycos的周期T.xR，且f (x)cossinx，f (x)sinsinxf (x)，ycos为奇函数.10.求函数ysin2xacos xa的最大值为1时a的值.【解】y1cos2xacos xa2a.因为cos x1,1，要使y最大，则必须满足2最小.当1，即a2(舍去)；当11，即2a2时，若cos x，则ymax.由题设，令1，得a1(舍去正值)；当1，即a2时，若cos x1，则ymax，由题设，令1，得a5.综上所述a5或a1.能力提升1.(2016潍坊高一检测)函数ycos的()A.最小正周期为2B.图象关于y轴对称C.图象关于原点对称D.图象关于x轴对称【解析】函数ycos的周期为：.所以A不正确；函数ycossin 2x，当x0时，函数取得0，函数关于原点对称，故B不正确，D不正确.【答案】C2.(2014江苏高考)已知函数ycos x与ysin(2x)(0)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_.【解析】由题意，得sincos，因为0，所以.【答案】3.已知函数f (x)2cos x(0)，且函数yf (x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f 的值；(2)将函数yf (x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.【解】(1)f (x)的周期T，故，