高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5_4 平面向量的应用 第2课时 平面向量的综合应用教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第2课时平面向量的综合应用题型一平面向量与三角函数命题点1向量与三角恒等变换的结合例1已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.且ab(0,1)，则_，_.答案解析因为ab(0,1)，所以由此得cos cos()由0，得0，又0，所以，.命题点2向量与三角函数的结合例2已知向量a(sin x，)，b(cos x，1)(1)当ab时，求tan 2x的值；(2)求函数f(x)(ab)b在，0上的值域解(1)ab，sin x(1)cos x0，即sin xcos x0，tan x，tan 2x.(2)f(x)(ab)babb2sin xcos xcos2x1sin 2xcos 2x1sin(2x)x0，2x0，2x，sin(2x)，f(x)在，0上的值域为，命题点3向量与解三角形的结合例3已知函数f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，求边长b与c的值解(1)f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos(2x)，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函数yf(x)的单调递减区间为k，k(kZ)(2)f(A)12cos(2A)1，cos(2A)1，又2A，从而得到sin C的取值范围是，1题型二向量与学科知识的交汇命题点1向量与不等式相结合例4(1)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，(a1)e1e2，be12e2(a0，b0)，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A2 B4 C6 D8(2)已知x，y满足若(x,1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_答案(1)B(2)解析(1)因为A，B，C三点共线，所以(a1)(2)1b，所以2ab2.因为a0，b0，所以()222 4(当且仅当，即a，b1时取等号)(2) 因为(x,1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当直线z2xy过点C(1,1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.命题点2向量与数列结合例5(2016浙江五校联考) 设数列xn的各项都为正数且x11.如图，ABC所在平面上的点Pn (nN*)均满足PnAB与PnAC的面积比为31，若(2xn1)xn1，则x5的值为()A31 B33C61 D63答案A解析在(2xn1)xn1中，令(2xn1)，作出图形如图所示，则(2xn1)xn1，所以xn1，xn1.又，所以，则，所以xn12xn1，xn112(xn1)，故xn1构成以2为首项、2为公比的等比数列，所以x5122432，则x531，故选A.思维升华向量与其他知识的结合，多体现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化，“脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可跟踪训练2(1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为()A3 B4C3 D4(2)(2017浙江新高考预测)角A，B，C为ABC的三个内角，向量m满足|m|，且m(sin，cos )，当角A最大时，动点P使得|，|，|成等差数列，则的最大值是()A. B.C. D.答案(1)B(2)A解析(1)由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数zxy，将其化为yxz，结合图象可知，当直线zxy过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入zxy，得z的最大值为4.(2)设BC2a，BC的中点为D.由题意得|m|2(sin )2(cos )21cos(BC)1cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C，则cos Bcos Csin Bsin C，化简得tan Btan C，则tan Atan(BC)(tan Btan C)2，当且仅当tan Btan C时，等号成立，所以当角A最大时，A，BC，则易得AD.因为|，|，|成等差数列，所以2|，则点P在以B，C为焦点，以2|4a为长轴的椭圆上，由图(图略)易得当点P为椭圆的与点A在直线BC的异侧的顶点时，|取得最大值，此时|a，则|，所以，故选A.题型三和向量有关的创新题例6称d(a，b)|ab|为两个向量a，b间的“距离”若向量a，b满足：|b|1；ab；对任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，则()Aab Bb(ab)Ca(ab) D(ab)(ab)答案B解析由于d(a，b)|ab|，因此对任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，即|atb|ab|，即(atb)2(ab)2，t22tab(2ab1)0对任意的tR都成立，因此有(2ab)24(2ab1)0，即(ab1)20，得ab10，故abb2b(ab)0，故b(ab)思维升华解答创新型问题，首先需要分析新定义(新运算)的特点，把新定义(新运算)所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义(新运算)信息题难点的关键所在定义一种向量运算“”：ab(a，b是任意的两个向量)对于同一平面内向量a，b，c，e，给出下列结论：abba；(ab)(a) b(R)；(ab) cacbc；若e是单位向量，则|ae|a|1.以上结论一定正确的是_(填上所有正确结论的序号)答案解析当a，b共线时，ab|ab|ba|ba，当a，b不共线时，ababbaba，故是正确的；当0，b0时，(ab)0，(a)b|0b|0，故是错误的；当ab与c共线时，存在a，b与c不共线，(ab)c|abc|，acbcacbc，显然|abc|acbc，故是错误的；当e与a不共线时，|ae|ae|a|e|a|1，当e与a共线时，设aue，uR，|ae|ae|uee|u1|u|1，故是正确的综上，结论一定正确的是.三审图形抓特点典例(2016镇海一模)已知A，B，C，D是函数ysin(x)(0,0)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值为()A2， B2，C， D，解析由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MFx轴，垂足为F，如图B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF.又A，所以AF，所以2.同时函数ysin(x)图象可以看作是由ysin x的图象向左平移得到，故可知，即.答案A1在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2a2(bc)2，acos Bbcos A2csin C，b2，则ABC的面积为()A. B. C3 D6答案C解析由已知得2bccos Aa2(bc)2，又a2b2c22bccos A，cos A，0A，A.又sin Acos Bcos Asin B2sin2C,0C，可得C，BC，bc2，SABCbcsin A3.2(2016镇海中学模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a15b12c0，则ABC最小角的正弦值等于()A. B. C. D.答案C解析20a15b12c0，20a()15b12c0，(20a15b)(12c20a)0，与不共线，ABC最小角为角A，cos A，又0A，sin A，故选C.3. 函数ytan()(0x4)的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于C，B两点则()等于()A8 B4C4 D8答案D解析因为函数ytan()(0x|ab|，此时，|ab|2|a|2|b|2；当a，b夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当ab时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选D.6(2017浙江新高考预测一) 如图，在扇形OAB中，AOB60，C为弧AB上与A，B不重合的一个动点，且xy，若uxy(0)存在最大值，则的取值范围为()A(1,3) B(，3)C(，1) D(，2)答案D解析设BOC，则AOC，因为xy，所以即解得xcos cos()sin ，ycos sin ，所以usin (cos sin )()sin cos sin()，其中tan ，因为0，所以，整理得0，解得0，0，|)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且0(O为坐标原点)，则A等于()A. B.C. D.答案B解析由题意知M(，A)，N(，A)，又A20，A.8已知在ABC中，a，b，ab0，SABC，|a|3，|b|5，则BAC_.答案150解析0，BAC为钝角，又SABC|a|b|sinBAC，sinBAC，又0BAC180，又0BAC180，BAC150.9已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点P(x，y)满足不等式01,01，则z的最大值为_答案3解析(x，y)，(1,1)，(0,1)，(2,3)，xy，y，2x3y，即在条件下，求z2x3y的最大值，由线性规划知识，得当x0，y1时，zmax3.10(2016温州一模)已知ABC中，|1，2，点P为线段BC上的动点，动点Q满足，则的最小值为_答案解析设，0,1，则，(1)，所以()(1)(13)，所以(13)()(13)2323，当时，取得最小值.11设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin ，若e1，e2均为单位向量，且e1e2，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_答案解析由e1e2，可得 cose1，e2，又e1，e20，故e1，e2，e2，e1e2，e1.f(e1，e2)e1cos e2sin e1e2，f(e2，e1)e2cos (e1)sin e1e2.f(e1，e2)f(e2，e1)(e1e2)(e1e2)e1e20.所以f(e1，e2)f(e2，e1)，故向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为.12已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos，sin)，n(cos，sin)，且m与n的夹角为.(1)求角C；(2)已知c，SABC，求ab的值解(1)mncos2sin2cos C，又mn|m|n|cos，0C，C.(2)SABCabsin Cabsinab，ab，ab6，由余弦定理得cos C，即，解得ab.13(2016台州高三第二次适应性考试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，sin A.(1)求sin C的值；(2)设D为AC的中点，若ABC的面积为8，求BD的长解(1)由得()0，即()()|2|20，|，AB，A与B都是锐角，cos A，sin Csin(AB)sin(A