高考数学大一轮复习 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题课件 文 北师大版

高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 考点自测 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 考点自测 1.(2015课标全国)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为 答案解析 ABM为等腰三角形，且ABM120， |BM|AB|2a，MBN60， 答案解析 由|OP|OF|OF|知，FPF90，即FPPF. 由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812， 在RtPFF中，由勾股定理， 答案解析 2 设B为双曲线的右焦点，如图所示. 四边形OABC为正方形且边长为2， 又a2b2c28，a2. 答案解析 答案解析 题型分类 深度剖析 题型一 求圆锥曲线的标准方程 答案解析 设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 联立直线与椭圆的方程， 又因为a2b29，解得b29，a218. 得(a2b2)x26b2x9b2a40， 思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义 、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程. 跟踪训练1 (2015天津)已知双曲线 1(a0，b0 )的一个焦点 为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方 程为答案解析 则a2b24， 题型二 圆锥曲线的几何性质 例2 (1)(2015湖南)若双曲线 1的一条渐近线经过点(3，4)， 则此双曲线的离心率为 答案解析 即3b4a，9b216a2，9c29a216a2， 答案解析 思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐 近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义， 及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运 算能力. 答案解析 |PF|p，|EF|p. yp， 题型三 最值、范围问题 例3 若直线l：y 过双曲线 1(a0，b0)的一个焦 点，且与双曲线的一条渐近线平行. (1)求双曲线的方程； 解答 所以a23b2，且a2b2c24， (2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围. 解答几何画板展示 由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为 ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2). 设MN的中点为Q(x0，y0)， 得13k2(1,0)(0,1)， 故直线m在y轴上的截距的取值范围为(，4)(4，). 思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从 代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和 均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥 曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围. 跟踪训练3 直线l：xy0与椭圆 相交于A，B两点，点C是 椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_. 答案解析 设与l平行的直线l：yxm与椭圆相切于P点. 则ABP面积最大. (4m)243(2m22)0， 题型四 定值、定点问题 例4 (2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点 B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于 点E. (1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； 解答 因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB| |ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|. 又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4. 由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2， 几何画板展示 (2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的 直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 解答 几何画板展示 当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2， y2). 故四边形MPNQ的面积 当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ 的面积为12. 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 解答(1)求椭圆C的方程； 又a2b2c2，解得a2， (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点 N.求证：|AN|BM|为定值. 证明几何画板展示 由(1)知，A(2,0)，B(0,1). 设椭圆上一点P(x0，y0)， 当x00时，y01，|BM|2，|AN|2， |AN|BM|4. 故|AN|BM|为定值. 题型五 探索性问题 例5 (2015广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交 于不同的两点A，B. 解答 圆C1：x2y26x50化为(x3)2y24， 圆C1的圆心坐标为(3,0). (1)求圆C1的圆心坐标； (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程； 解答几何画板展示 设M(x，y)， A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点， 由圆的性质知MC1MO， 由向量的数量积公式得x23xy20. 易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为ymx， 把相切时直线l的方程代入圆C1的方程， 当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0). 又直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点， 点M的轨迹C的方程为x23xy20， (3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？ 若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由. 解答 几何画板展示 若直线L与曲线C只有一个交点，令f(x)0. 当0时， 思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步 骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法 设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、 直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 跟踪训练5 (2017武宁一中月考)已知椭圆C的右焦点F(1,0)，过F的 直线l与椭圆C交于A，B两点，当l垂直于x轴时，|AB|3. 解答(1)求椭圆C的标准方程； 解答 假设存在满足条件的点T(t,0)， 当直线AB斜率不为0时，可设直线AB为xmy1， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将xmy1代入C得(43m2)y26my90， x1x2t(x1x2)t2y1y2 课时作业 (1)求椭圆E的方程； 1234 解答 5 12345 (2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于 点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2. 证明 由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)， 从而直线AP，AQ的斜率之和 12345 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20， 12345 解答 12345 12345 解答 12345 设A(x1，y1)，则B(x1，y1)， 12345 12345 解答 12345 当l1的斜率为2时，直线l1的方程为y2xb， 从而a25， 12345 12345 解答 由题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0， 得(45k2)x220kx0， 12345 12345 (1)求该椭圆的离心率；解答 12345 (2)设直线AB和AC分别与直线x4交于点M，N，问：x轴上是否存在定 点P使得MPNP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 解答 12345 依题意，直线BC的斜率不为0， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 设其方程为xty1. 12345 假设x轴上存在定点P(p,0)使得MPNP， 将x1ty11，x2ty21代入上式，整理得 12345 所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)， 使得MPNP. 12345 解答(1)求椭圆的标准方程； 12345 将点P的坐标代入椭圆方程得c21， 12345 解答(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围. 12345