高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_3圆的方程课件文北师大版

9.3 圆的方程 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 圆的定义与方程 知识梳理 定义在平面内，到 的距离等于 的点的 叫作圆 方 程 标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心 半径为_ 一般x2y2DxEyF0充要条件：_ 圆心坐标： 半径r D2E24F0 (a，b) r 定点定长集合 1.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程. 知识拓展 2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上： ； (2)点在圆外： ； (3)点在圆内： . (x0a)2(y0b)2r2 (x0a)2(y0b)2r2 (x0a)2(y0b)20.( ) (4)方程x22axy20一定表示圆.( ) (5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0 F0.( ) 1.(教材改编)将圆x2y22x4y10平分的直线是 A.xy10 B.xy30 C.xy10 D.xy30 考点自测 答案解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C满足. 2.方程x2y2mx2y30表示圆，则m的范围是答案解析 3.(2015北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x1)2(y1)21 B.(x1)2(y1)21 C.(x1)2(y1)22 D.(x1)2(y1)22 答案解析 圆的方程为(x1)2(y1)22. 4.(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的 方程为_. 答案解析(x2)2y210 设圆心坐标为C(a,0)， 点A(1,1)和B(1,3)在圆C上， |CA|CB|， 解得a2， 圆心为C(2,0)， 圆C的方程为(x2)2y210. 5.(2016浙江)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆， 则圆心坐标是_，半径是_. 答案解析(2，4) 由已知方程表示圆，则a2a2， 解得a2或a1. 当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a1时，原方程为x2y24x8y50， 化为标准方程为(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆. 5 题型分类 深度剖析 题型一 求圆的方程 (x2)2y29 答案解析 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0， 所以圆C的方程为(x2)2y29. 由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，2)三点， (4,0)，(0，2)两点的垂直平分线方程为 y12(x2)， 答案解析 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出 方程. (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已 知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值. 跟踪训练1 (2016株洲一模)圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交 于A(0，4)，B(0，2)两点，则圆C的标准方程为 A.(x2)2(y3)25 B.(x2)2(y3)25 C.(x2)2(y3)25 D.(x2)2(y3)25 答案解析 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 故圆C的标准方程为(x2)2(y3)25. 题型二 与圆有关的最值问题 例2 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上.求xy的最大值和最小值 .解答 几何画板展示 设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距， xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大 值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 引申探究 解答几何画板展示 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大 值和最小值，即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距 离等于半径， 求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径 的和或差.又圆心到定点(1,2)的距离为 ， 解答 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几 何意义，利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.形如u 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问 题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问 题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b) 的距离平方的最值问题. 跟踪训练2已知实数x，y满足方程x2y24x10.求： 解答 如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以 为半径的圆. (2)yx的最小值； 解答 设yxb，则yxb， 当且仅当直线yxb与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值 ， (3)x2y2的最大值和最小值. 解答 x2y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC， 与圆交于B点，并延长交圆于C，则 题型三 与圆有关的轨迹问题 例3 (2016潍坊模拟)已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一 点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程；解答 设AP的中点为M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y). 因为P点在圆x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24， 故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21. 几何画板展示 (2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程. 解答 设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中， |PN|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10. 几何画板展示 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 跟踪训练3 (2016天津模拟)设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上 运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹. 解答 几何画板展示 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)， 由于平行四边形的对角线互相平分， 又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24. 因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24， 典例 在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都 在圆C上，求圆C的方程. 利用几何性质巧设方程求半径 思想与方法系列19 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法. (1)一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点 ，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式. (2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线 的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法 比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题. 规范解答思想方法指导 解 一般解法 (代数法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴 的交点为(32 ，0)，(32 ，0)，设圆的方程是x2y2DxEy F0(D2E24F0)， 故圆的方程是x2y26x2y10. 巧妙解法 (几何法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交 点为(32 ，0)，(32 ，0). 故可设C的圆心为(3，t)， 则有32(t1)2(2 )2t2，解得t1. 所以圆C的方程为(x3)2(y1)29. 课时作业 12345678910 11 12 13 1.(2016南昌模拟)已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的 圆的方程是 A.x2y22 B.x2y C.x2y21 D.x2y24 答案解析 AB的中点坐标为(0,0)， 所以圆的方程为x2y22. 12345678910 11 12 13 2.(2016昆明一模)方程|x|1所表示的曲线是 A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆 答案解析 故原方程表示两个半圆. 12345678910 11 12 13 3.(2016福州质检)设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a 1，则原点与圆的位置关系是 A.原点在圆上 B.原点在圆外 C.原点在圆内 D.不确定 答案解析 将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0a1， 所以(0a)2(01)22a(a1)20， 12345678910 11 12 13 4.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是 A.(x2)2(y1)21B.(x2)2(y1)24 C.(x4)2(y2)24D.(x2)2(y1)21 答案 解析 设圆上任一点坐标为(x0，y0)， 12345678910 11 12 13 5.已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截 直线l1所得的弦长为2 ，且与直线l2：2x y40相切，则圆M的 方程为 答案解析 由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2， A.(x1)2y24 B.(x1)2y24 C.x2(y1)24 D.x2(y1)24 所以圆M的方程为(x1)2y24. 12345678910 11 12 13 6.(2016汉中模拟)若圆x2y22x6y5a0关于直线yx2b成轴对 称图形，则ab的取值范围是 A.(，4) B.(，0) C.(4，) D.(4，) 答案解析 圆的方程可化为(x1)2(y3)2105a， 可知圆心为(1，3)，且105a0，即a0)， 由题意得a2b0，且a2( )2b2， 解得a2，b1. 所以所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24. 12345678910 11 12 13 10.(2016深圳模拟)已知两点A(1,0)，B(0,2)，点P是圆(x1)2y21 上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是 _. 答案解析 12345678910 11 12 13 12345678910 11 12 13 11.已知圆C经过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段的长 为4 ，半径小于5. (1)求直线PQ与圆C的方程； 解答 12345678910 11 12 13 由题意知直线PQ的方程为xy20. 设圆心C(a，b)，半径为r， 即yx1，所以ba1. 可得(a1)2(b3)212a2， 由得a1，b0或a5，b4. 当a1，b0时，r213，满足题意， 12345678910 11 12 13 当a5，b4时，r237，不满足题意. 故圆C的方程为(x1)2y213. 12345678910 11 12 13 (2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过 坐标原点，求直线l的方程. 解答 12345678910 11 12 13 设直线l的方程为yxm(m2)， A(x1，mx1)，B(x2，mx2). x1x2(mx1)(mx2)0， 化简得2x1x2m(x1x2)m20. 2x22(m1)xm2120， 12345678910 11 12 13 代入，得m212m(1m)m20， m4或m3，经检验都满足题意， 直线l的方程为xy40或xy30. 12345678910 11 12 13 解答 设P(x，y)，圆P的半径为r. 则y22r2，x23r2. y22x23，即y2x21. P点的轨迹方程为y2x21. 12345678910 11 12 13 解答 设P点的坐标为(x0，y0)， y0x01，即y0