高中数学 3_1_4 空间向量的直角坐标运算学案 新人教b版选修2-1

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.1.4空间向量的直角坐标运算1了解空间向量坐标的定义2掌握空间向量运算的坐标表示(重点)3能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角(难点、重点)基础初探教材整理1空间向量的直角坐标运算阅读教材P89P90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容，完成下列问题1单位正交基底与坐标向量建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k，这个基底叫做单位正交基底单位向量i，j，k都叫做坐标向量2空间向量的直角坐标运算(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量坐标运算法则ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)也就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标1已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6)Bab(2，1，6)Cab10 D2a(8，4，8)【解析】易验证A，B，C均不正确，D正确【答案】D2在空间直角坐标系中，若A(1,3,2)，B(0,2,4)，则向量的坐标为_【答案】(1，1,2)教材整理2空间向量平行和垂直的条件阅读教材P90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容，完成下列问题a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)平行(ab)ab(b0)ab(R)垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k()A1BC. D【解析】kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得k.【答案】D教材整理3两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式阅读教材P91第10行以下部分内容，完成下列问题若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab_；(2)|a|_；(3)a0，b0，cosa，b_；(4)a0，b0，abab0_.【答案】(1)a1b1a2b2a3b3(2)(3)(4)a1b1a2b2a3b30ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(1,0，)，则角A的大小为_【解析】，(1,0,0)，则cos A，故角A的大小为30.【答案】30教材整理4空间中两点间的距离公式阅读教材P91“例3”以上部分内容，完成下列问题在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(1)_；(2)dAB|_.【答案】(1)(x2x1，y2y1，z2z1)(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为()A.BC. D【解析】建系如图，则C1(0,1,2)，D(1,0,1)，A1(0,0,2)，C(0,1,0)(1，1，1)，(0,1，2)cos，.故选C.【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型空间向量的坐标运算已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(1,2,1)，(1,3,4)，(0，1,4)，(2，1，2)若p，q，求下列各式的值：(1)p2q；(2)3pq；(3)(pq)(pq)；(4)cosp，q【精彩点拨】(1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？【自主解答】由于A(1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，1,4)，D(2，1，2)，所以p(2,1,3)，q(2,0，6)(1)p2q(2,1,3)2(2,0，6)(2,1,3)(4,0，12)(6,1，9)(2)3pq3(2,1,3)(2,0，6)(6,3,9)(2,0，6)(4,3,15)(3)(pq)(pq)p2q2|p|2|q|2(221232)2202(6)226.(4)cosp，q.1一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2.再练一题1已知a(2，1，2)，b(0，1,4)求：(1)ab；(2)ab；(3)ab；(4)2a(b)；(5)(ab)(ab)【解】(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)(2)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)(3)ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47.(4)2a(4，2，4)，(2a)(b)(4，2，4)(0,1，4)40(2)1(4)(4)14.(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8.利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题已知a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k的值；(2)若(kab)(a3b)，求k的值【精彩点拨】(1)向量共线的条件是什么？(2)向量垂直的条件是什么？【自主解答】kab(k2,5k3，k5)，a3b(132,533，135)(7，4，16)(1)法一因为(kab)(a3b)，所以，解得k.法二因为a(1,5，1)，b(2,3,5)，所以a0，b0.又因为(kab)(a3b)，所以，解得k.法三因为(kab)(a3b)，所以kab(a3b)(R)，即(k2,5k3，k5)(7，4，16)从而有解得k，所以k.(2)法一因为(kab)(a3b)，所以(k2)7(5k3)(4)(k5)(16)0，解得k.法二因为a(1,5，1)，b(2,3,5)，所以a227，b238，ab8.因为(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)ka23b2(13k)ab27k1148(13k)3k1060.所以k.向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意：(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程；(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的再练一题2已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且与c(2，2，)垂直，求a. 【导学号：15460068】【解】(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得实数，m3.(2)|a|，且ac，化简得解得1.因此，a(0,1，2)探究共研型利用向量的坐标运算求夹角与距离探究1运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤？【提示】(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；(2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为几何结论探究2已知A(2,1，3)，B(1，2,4)，求与向量共线的单位向量【提示】(1，3,7)，|，与共线的单位向量为或.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H是C1G的中点利用空间向量解决下列问题：(1)求EF与B1C所成的角；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求F，H两点间的距离【精彩点拨】建系Dxyz得各点的坐标数量积运算夹角、长度公式几何结论【自主解答】如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，F，C(0,1,0)，C1(0，1,1)，B1(1,1,1)，G.(1)，(1,0，1)，(1,0，1)(1)0(1)0.，即EFB1C.EF与B1C所成的角为90.(2)因为.则|.又|，且，cos，即EF与C1G所成角的余弦值为.(3)H是C1G的中点，H.又F，FH|.空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有：(1)求向量的模|a|；(2)求角，利用公式cosab；(3)证明垂直ab0ab.再练一题3如图3133，SA平面ABC，ABBC，SAABBC.图3133(1)求异面直线SC与AB所成角的余弦值；(2)用空间向量的方法证明：BC平面ABS.【解】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设SAABBCa，则B，C(0, a,0)，S(0,0，a)(1)，(0, a，a)cos，故SC与AB所成角的余弦值为.(2)由于，(0,0，a)，显然，0，0.即ABBC，ASBC，又ABASA，故BC平面ABS.构建体系1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，则|3ab|为()A.B4C5 D【解析】3ab3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1,0,2)(2,3,2)，故|3ab|.【答案】D2点A(n，n1,2n)，B(1，n，n)，则|的最小值是()A. BC2 D不存在【解析】(1n,12n，n)，|2(1n)2(12n)2n262，当n时，|的最小值为.【答案】B3已知a(1，x,3)，b(2,4，y)，若ab，则xy_.【解析】ab，ba.xy4.【答案】44已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角等于_【解析】(0,3,3)，(1,1,0)，于是cos，故与的夹角为60.【答案】605已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，O(0,0,0)，与的夹角为120，求的值【解】(1,0,0)，(0，1,1)，(1，)，()2，|.|.cos 120，2，又0，即0，.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b()A(2，4,2)B(2,4，2)C(2,0，2) D(2,1，3)【解析】ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2)【答案】A2设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为() 【导学号：15460069】A. BC. D【解析】AB的中点M，故|CM| .【答案】C3已知向量a(2,3)，b(k,1)，若a2b与ab平行，则k的值是()A6 BC. D14【解析】由题意得a2b(22k,5)，且ab(2k,2)，又因为a2b和ab平行，则2(22k)5(2k)0，解得k.【答案】C4如图3134，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为()图3134A1 BC. D【解析】以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，1，)，F，所以|EF|，故选C.【答案】C5已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是()A.B CD【解析】ba(1t,2t1,0)，|ba|2(1t)2(2t1)2025t22t252.|ba|.|ba|最小值.【答案】C二、填空题6已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，点Q的坐标为_【解析】设(，2)，故Q(，2)，故(1，2，32)，(2，1，22)则62161062，当取最小值时，此时Q点的坐标为.【答案】7若(4,6，1)，(4,3，2)，|a|1，且a，a，则a_. 【导学号：15460070】【解析】设a(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得或【答案】或8若A(m1，n1,3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3,9)三点共线，则mn_.【解析】因为(m1,1，m2n3)，(2，2，6)，由题意得，则，所以m0，n0，mn0.【答案】0三、解答题9已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)【解】(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，E点坐标为.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是正方形ABCD的中心求证：.【证明】建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，M，O.，.(1)010，.能力提升1已知向量a(2，x,2)，b(2,1,2)，c(4，2,1)，若a(bc)，则x的值为()A2 B2C3 D3【解析】bc(2,3,1)，a(bc)43x20，x2.【答案】A2已知a(