七年级数学下册 课后补习班辅导 二元一次方程组的应用讲学案 苏科版

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线二元一次方程组的应用【本讲教育信息】一. 教学内容： 二元一次方程组的应用目标 1. 熟悉掌握列二元一次方程组解应用题的一般步骤。 2. 能清楚的表达解决实际问题的过程，并解释解的合理性。 3. 让学生体会设间接未知数的好处，做到一题多解，学会从多角度思考问题。 4. 培养学生从图表获取信息的能力。二. 重、难点： 1. 灵活掌握运用方程组解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力。 2. 探究如何根据实际问题的条件建立二元一次方程组的模型三. 知识要点 1. 列方程解应用题的基本步骤与要求 （1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量间的关系。 （2）设；设未知数，一般求什么设什么，设未知数要带好单位名称。 （3）列：找出两个相等关系，列出方程组。 （4）解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值。 （5）检：检验所得结果的合理性。 （6）答：答要带单位。 归纳为6个字：审、设、列、解、检、答 2. 列方程组解应用题的常见类型主要有： （1）行程问题： 包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程速度时间； （2）工程问题： 一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题。 基本等量关系为：工作量工作效率 工作时间； （3）和差倍分问题： 基本等量关系为：较大量较小量多余量，总量倍数 1倍量； （4）航速问题： 此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为： 顺流（风）：航速静水（无风）中的速度水（风）速 逆流（风）：航速静水（无风）中的速度水（风）速 （5）几何问题、年龄问题和商品销售问题等【典型例题】一. 根据图表解题：例1. 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税） 分析：设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意列出表格： 解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则 解得： 答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元. 说明：我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来。例2. 下表是某周甲、乙两种股票每天的收盘价： 某人在该周内持有若干股甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（手续费、税费不计），该人账户上星期二比星期一获利200元，星期三比星期二获利1300元，试问该人持有甲、乙股票各多少股？分析：我们从表格上可以看出，星期二比星期一甲股票每股涨（12.512）元，乙股票每股涨（13.313.5）元；星期三比星期二甲股票每股涨（12.912.5）元，乙股票每股涨（13.913.3）元，根据已知条件即可得到以下关系式： 周二甲股票获利+周二乙股票获利=200；周三甲股票获利+周三乙股票获利=1300。 解：设某人持有甲种股票x股，乙种股票y股，列方程得 解得： 答：该人持有甲种股票1000股，乙种股票1500股。 说明：解这类应用题的关键是：（1）从表头中了解对象，从表列中得到数据；（2）处理数据，寻求隐含的等量关系建立方程组求解。例3. 用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒。现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？ 分析：我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2000，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数. 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系： 每个竖式纸盒要用的正方形纸板数竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的正方形纸板数横式纸盒个数 = 正方形纸板的总数 每个竖式纸盒要用的长方形纸板数 竖式纸盒个数 + 每个横式纸盒要用的长方形纸板数 横式纸盒个数 = 长方形纸板的总数 通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用1张正方形纸板和4张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用2张正方形纸板和3张长方形纸板。 解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系。 设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个. 根据题意，得 解得： 200和400均为自然数，这个解符合题意。 答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完。二. 行程、工程问题： 例4. 甲、乙二人在400米的跑道上练习跑步，如果同方向跑，他们每隔3分零20秒就相遇一次；如果相对而跑，他们每隔40秒相遇一次，求甲、乙二人的速度. 分析：同向跑相遇时，快者比慢者多跑一圈；相对跑相遇时，两人一共跑一圏。注意此题目没有说谁的速度快，因此要分两种情况回答问题。（3分零20秒200秒） 解：设甲、乙二人的速度分别为x米/秒，y米/秒。 依题意，得 分别解这两个方程组得： 答：甲、乙二人的速度分别为6米/秒和4米/秒或4米/秒和6米/秒。 例5. 某学校组织学生到100千米以外的某地夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行。先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人。已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发。 分析：我们从行程问题的3个基本量去寻找，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，由题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半人，车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组。如图所示是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系。 解：设先坐车的一半人下车点距起点x千米，这个下车点与后坐车的一半人的上车点相距y千米，根据题意得 化简得 解得： 从起点到终点所用的时间为 出发时间为：17107.即早晨7点出发。 答：要使学生下午5点到达，必须早晨7点出发。 例6. 某段工程拟在30天内（含30天）完成。现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成。请问： （1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？ （2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用是多少万元？ 分析：解本题时我们必须要清楚工作的效率可以表示为时间的倒数，也就是说如果甲完成该工程需要x天，那么甲每天就完成该工程的，也就是说甲的工作效率是；同样，如果乙完成该工程需要y天，每天就可以完成该工程的，然后根据题中的前后两次不同的施工情况列出方程组。第二问中我们要先计算比较，哪个单位施工费用低，同时还要考虑要在规定的时间内完成工程。 解：（1）设甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天。 由题意，得： 解得： （2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，那么，甲单独完成该工程共需要施工费用400.624（万元）；乙工程队每天的施工费用为0.35万元，那么，乙单独完成该工程共需要施工费用0.356021（万元）；因为24万元21万元，所以甲的施工费用高，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成。 由（1）知，乙工程队30天完成工程的，所以甲工程队需施工（天） 最低施工费用为0. 6200. 3530=22.5（万元）。 答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；（2）要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是22.5万元。三. 一题多解（间接设未知数）问题 例7. 甲、乙两厂，上月原计划共生产机床90台，结果甲厂完成了计划的112，乙厂完成了计划的110，两厂共生产机床100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？ 分析：我们可以采用两种方法设未知数，即直接设法和间接设法.直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数，本题中就设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台；而间接设法就是问什么并不设什么，而是采用先设出一个中间未知数，求出这个中间未知数，再利用它同题中要求未知数的联系，解出所要求的未知数，题中我们可设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台。 解法一：直接设法： 设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台，则共超额了1009010（台），而甲厂计划生产的台数是台，乙厂计划生产的台数是台。 根据题意，得 化简得：解得： 答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台。 解法二：间接设法 设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台。 根据题意，得 化简得： 解得： x（1121）50126，y（1101）40104。 答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台。 例8. 我市某学校原计划向内蒙某地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%，问初中学生和高中学生各比原计划多捐赠了多少册图书？ 分析：此题如果间接设原计划捐赠多少册书来列方程组比直接设要容易些。 解：设初中学生原计划捐赠x册图书，高中学生原计划捐赠y册图书。 由题意，得： 解得 答：初中学生比原计划多捐赠了400册图书，高中学生比原计划多捐赠了225册图书。四. 整数解问题例9. 某种商品价格为每件33元，某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品。若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出2元和5元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？ 分析：本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解。我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式。然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解。最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少。 解：设付出2元钱的张数为x，付出5元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数。 依题意可得方程：2x+5y=33 5y个位上的数只可能是0或5，2x个位上的数应为3或8 又2x是偶数，所以2x个位上的数是8 从而此方程的解为： 第一种付款方式付出的张数最少 答：付款方式有3种，分别是：付出4张2元钱和5张5元钱；付出9张2元钱和3张5元钱；付出14张2元钱和1张5元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少。 例10. 假期里，小明和妈妈乘火车去外地舅舅家做客，火车徐徐启动了，行驶一段时间后，小明忽然想到，火车全面提速后，不知道自己乘坐的这列火车现在行驶的速度是多少，他紧皱眉头问妈妈，妈妈略加思考告诉他：“火车的速度是多少我并不知道，但我可以告诉你，第一次我往窗外看时，恰好看见路边里程碑上的数是一个两位数；过了20分钟，再往车窗外一看，看见了里程碑上的数刚好是原来那两位数交换了前后位置；又过了20分钟，我再往车窗外一看，这时里程碑上的数是个三位数，而且恰好是第一次看到的两位数的中间多了一个0。现在请你自己想一想，火车的速度到底是多少？” 解：设妈妈第一次看到的里程碑上的两位数的十位上的数是x，个位上的数为y，则第一次里程碑上的数是10xy，20分钟后看到的两位数是10yx，又过20分钟后看到的三位数是100xy.因为火车是匀速行驶，所以得到第一个20分钟火车行驶的路程和第二个20分钟行驶的路程是相等的。 由题意：10yx（10xy）100xy（10y+x）， 整理得：y6x. x，y是小于10的正整数，所以x1，y6. 火车在20分钟行驶的路程是6116=45（千米）， 火车的速度是（千米/小时）. 答：火车的速度是135千米/小时。五. 杂题： 例11. 某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生。 （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20。安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。 解：（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生。 根据题意，得 解得 平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人。 （2）这栋楼最多有学生4845=1440（人）。 拥挤时5分钟4道门能通过52（120+80）（120%）=1600（人） 16001440，所以建造的4道门符合安全规定 答：平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定。【模拟试题】（答题时间：40分钟） 1. 两种枕木共300根，甲种枕木的总质量比乙种枕木的总质量轻1吨. 如果每根枕木甲种重46千克，乙种重28千克，两种枕木各多少根？ 2. 某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助.资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元.某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：求a，b的值。 3. 甲、乙两工人同时接受一批生产任务，开始工作时，甲先花去2.5小时改装机器，以提高工作效率，因此前4小时结束时统计甲比乙少做400个零件，继续工作4小时后，统计甲反比乙多做4200个零件。问这一天甲、乙各做了多少个零件？ 提示：（1）前4小时中甲花去2.5小时改装机器，因此甲实际工作时间为42.5=1.5（小时）。甲比乙少做400个零件的数学表达方式为：甲 （1.5小时）工作量=乙（4小时）工作量400。（2）继续工作4小时后，统计甲工作时间为1.5+4=5.5（小时），而乙的工作时间为8（小时）。 统计甲反比乙多做4200个零件的数学表达方式为：甲（5.5小时）总工作量乙（8小时）总工作量+4200 工作量=工作效率工作时间 4. 甲轮船从A码头顺流而下，乙轮船从B码头逆流而上，两轮船同时相向而行，相遇于中点，而乙轮船顺流航行的速度是甲轮船逆流航行的速度的2倍，已知水流速度是4km/h，求甲、乙两轮船在静水中的速度。 提示：顺流航速静水中的速度水速，逆流航速静水中的速度水速。 5. 有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为54，第二个长方形的长与宽之比为32，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积。 6. 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅. 经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐。 （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。7. 某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒，如图（1），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等，如图（2）。现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？ 提示：由于两种小盒都无盖，因此，甲种小盒每个用一个正方形纸片，四个长方形纸片；而乙种小盒每个用二个正方形纸片，三个长方形纸片. 8. 这天，老师安排小明和几位同学整理学校会议室内的卫生，小明发现会议室里有两种凳子：一种是三条腿的，一种是四条腿的.凳子的数目是个两位数，其中只有三只是三条腿的，其它全是四条腿的，并且所有凳子腿的条数也是个两位数，且十位上的数字与个位上的数字恰好是刚才那个两位数十位上数字与个位上数字对调后得到的新数。小明思考了一番，很快计算出了会议室内凳子的条数，他是怎么算的呢？【想一想】 马和骡子马和骡子并排走着，背上都驮着重重的包裹. 马抱怨着说它的负担过分重了. “你抱怨些什么？”骡子回答它. “你瞧，如果我从你背上拿过来一个包裹，我的负担就有你的两倍大；如果你从我的背上拿过去一个包裹，你驮着的也不过和我的一样. ”这是国外一个不很复杂的古老问题，聪明的同学们，请你告诉我，马驮多少包裹？骡子驮多少包裹？此问题如果用列二元一次方程组来求解，将十分的简单，你做出来了吗？【试题答案】 1. 解：设甲种枕木有x根，乙种枕木有y根，由题意得 解得 经检验，这个解满足方程组，且符合题意。 答：甲、乙两种枕木分别有100根和200根。 2. 解：根据题意，得 解得 经检验，符合题意 a800，b600. 答：资助一名中学生和资助一名小学生的费用分别为800元，600元。 3. 解：设甲改装机器后每小时生产x个零件，乙每小时生产y个零件。 根据题意得 解得 5.5x=11000，8