高考数学一轮复习 第6章 不等式推理与证明 第4节 归纳与类比课时分层训练 文 北师大版

课时分层训练课时分层训练( (三十四三十四) ) 归纳与类比归纳与类比 A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1正弦函数是奇函数，f (x)sin(x21)是正弦函数，因此f (x)sin(x21)是奇 函数，以上推理( ) A结论正确 B大前提不正确 C小前提不正确 D全不正确 C C 因为f (x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确 2如图 644，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是( ) 图 644 A12 B48 C60 D144 D D 由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以 a1212144. 3某种树的分枝生长规律如图 645 所示，第 1 年到第 5 年的分枝数分别为 1,1,2,3,5，则预计第 10 年树的分枝数为( ) 【导学号：66482307】 图 645 A21 B34 C52 D55 D D 因为 211,321,532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以 第 10 年树的分枝数为 213455. 4如图 646 所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为 FB AB ，此类椭圆被称为“黄金椭圆” 类比“黄金椭圆” ，可推算出“黄金双曲线”的离心 51 2 率e等于( ) 图 646 A. B 51 2 51 2 C.1 D1 55 A A 设“黄金双曲线”方程为1， x2 a2 y2 b2 则B(0，b)，F(c,0)，A(a,0) 在“黄金双曲线”中， 因为，所以0. FB AB FB AB 又(c，b)，(a，b) FB AB 所以b2ac.而b2c2a2，所以c2a2ac. 在等号两边同除以a2，得e. 51 2 5下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 是无理数；结论： 是无限不循 环小数 B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 是无限不循环小数；结论： 是 无理数 C大前提： 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： 是 无理数 D大前提： 是无限不循环小数；小前提： 是无理数；结论：无限不循环小数是 无理数 B B A 中小前提不正确，C，D 都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以 A，C，D 都不正确，只有 B 的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确 二、填空题 6把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三 角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r(其中a，b为直角三角形两直角边长) a2b2 2 类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径 R_. 由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径为 a2b2c2 2 . a2b2c2 2 7观察下列不等式： 1 ， 1 22 3 2 1 ， 1 22 1 32 5 3 1 ， 1 22 1 32 1 42 7 4 照此规律，第五个不等式为_ 1 左边的式子的通项是 1，右 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 11 6 1 22 1 32 1 n12 边式子的分母依次增加 1，分子依次增加 2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关 系，所以第五个不等式为 1. 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 11 6 8(2017东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人 得了优秀当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀” ，乙说“我得了优秀” ， 甲说“丙说的是真话” 事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的 同学是_ 丙 如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所 以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的” ，即“甲 没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话 矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明 “丙得优秀” ，这与甲说“丙说的是真话”符合所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学 是丙 三、解答题 9平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三 角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S 底高；(3)三角形的中位线平行于第 1 2 三边且等于第三边的 ；请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论. 1 2 【导学号：66482308】 解 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；4 分 (2)四面体的体积V 底面积高；8 分 1 3 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 . 12 分 1 4 10设f (x)，先分别求f (0)f (1)，f (1)f (2)，f (2)f (3)， 1 3x 3 然后归纳猜想一般性结论，并给出证明 解 f (0)f (1) 1 30 3 1 31 3 ，2 分 1 1 3 1 3 3 31 2 3 3 6 3 3 同理可得：f (1)f (2)， 3 3 f (2)f (3)，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于 1. 3 3 归纳猜想得：当x1x21 时， 均有f (x1)f (x2). 6 分 3 3 证明：设x1x21， f (x1)f (x2) 1 3x1 3 1 3x2 3 3x1 33x2 3 3x1 33x2 3 3x13x22 3 3x1x2 33x13x23 . 12 分 3x13x22 3 33x13x22 3 3x13x22 3 33x13x22 3 3 3 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1给出以下数对序列： (1,1)； (1,2)(2,1)； (1,3)(2,2)(3,1)； (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)； 记第i行的第j个数对为aij，如a43(3,2)，则anm( ) A(m，nm1) B(m1，nm) C(m1，nm1) D(m，nm) A A 由前 4 行的特点，归纳可得：若anm(a，b)，则 am，bnm1，anm(m，nm1) 2(2016全国卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各 取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ，乙看了丙的 卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5” ， 则甲的卡片上的数字是_ 1 和 3 法一：由题意得丙的卡片上的数字不是 2 和 3. 若丙的卡片上的数字是 1 和 2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3，则甲的卡 片上的数字是 1 和 3，满足题意； 若丙的卡片上的数字是 1 和 3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3，则甲的卡 片上的数字是 1 和 2，不满足甲的说法 故甲的卡片上的数字是 1 和 3. 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是 2，所以丙的卡片上必有数字 2.又丙的卡 片上的数字之和不是 5，所以丙的卡片上的数字是 1 和 2.因为乙与丙的卡片上相同的数字 不是 1，所以乙的卡片上的数字是 2 和 3，所以甲的卡片上的数字是 1 和 3. 3某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin213cos217sin13cos17； sin215cos215sin15cos15； sin218cos212sin18cos12； sin2(18)cos248sin(18)cos48； sin2(25)cos255sin(25)cos55. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【导学号：66482309】 解 (1)选择式，计算如下： sin215cos215sin15cos151 sin30 1 2 1 . 5 分 1 4 3 4 (2)法一：三角恒等式为 sin2cos2(30)sincos(30) . 7 分 3 4 证明如下： sin2cos2(30)sincos(30) sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin) sin2 cos2sincos sin2sincos sin2 3 4 3 2 1 4 3 2 1 2 sin2 cos2 . 12 分 3 4 3 4 3 4 法二：三角恒等式为 sin2 cos2(30)sincos(30) . 7 分 3 4 证明如下： sin2cos2(30)sincos(30) s