高中数学 第2章 数列 2_3_3.1 等比数列的前n项和学案 苏教版必修5

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线第1课时等比数列的前n项和1掌握等比数列前n项和公式；能用公式解决一些简单问题(重点)2能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题(难点)3不对q分析范围而错用求和公式(易错点)基础初探教材整理1等比数列的前n项和公式阅读教材P55P56，完成下列问题设数列an为等比数列，首项为a1，公比为q，则其前n项和S n1在等比数列an中，a12，S326，则公比q_.【解析】q1，S326，q2q120，q3或4.【答案】3或42设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an的前7项和为_【解析】a5a1q4，q424.q0，q2，S7127.【答案】127教材整理2等比数列前n项和的性质阅读教材P62第8题，完成下列问题等比数列前n项和的性质(1)等比数列an中，SmnSnqnSmSmqmSn.(2)等比数列an中，若项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.(3)设数列an是等比数列，Sn是其前n项和当q1且k为偶数时，Sk，S2kSk，S3kS2k不是等比数列；当q1或k为奇数时，数列Sk，S2kSk，S3kS2k(kN*)是等比数列在等比数列an中，若Sn是其前n项和，且S43，S89，则S12_.【解析】S4，S8S4，S12S8成等比数列，3,6，S129成等比数列，3(S129)36，S1221.【答案】21质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型等比数列前n项和的基本运算在等比数列an中，(1)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5；(3)若q2，S41，求S8.【精彩点拨】利用公式Sn求解【自主解答】(1)由公式Sn及条件得189，解得a13，又由ana1qn1，得9632n1，解得n6.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得，q3，即q，a18，a4a1q3831，S5.(3)设首项为a1，q2，S41，1，即a1，S817.1等比数列的前n项和公式和通项公式中共涉及a1，an，q，n，Sn五个基本量，已知其中三个量，可以求出另外的两个量，我们可以简称为“知三求二”2已知an时用Sn较简便，而Sn在将已知量表示为最基本元素a1和q的表达式中发挥着重要作用再练一题1求下列等比数列前8项的和(1)，；(2)a127，a9，q0. 【导学号：91730041】【解】(1)因为a1，q，所以S8.(2)由a127，a9，可得27q8.又由q0，可得q.所以S8.等比数列前n项和的性质及应用在等比数列an中，若前10项的和S1010，前20项的和S2030，求前30项的和S30.【精彩点拨】法一：由列方程组求得q值，整体代换求S30；法二：利用前n项和的性质，连续10项之和成等比数列，求S30.【自主解答】法一：设数列an的首项为a1，公比为q，显然q1，则两式相除得1q103，q102.S30(1q10q20)10(124)70.法二：S10，S20S10，S30S20仍成等比数列，又S1010，S2030，S3030，即S3070.要注意等比数列前n项和性质的使用条件，条件不具备时，性质不一定成立，如Sm，S2mSm，S3mS2m，满足(S2mSm)2Sm(S3mS2m)，但Sm，S2mSm，S3mS2m不一定成等比数列，只有在一定的限制条件下才成等比数列再练一题2(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.(2)等比数列 an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.【解析】(1)设公比为q，则1q33，所以q32，于是.(2)S奇80，S偶160，q2.【答案】(1)(2)2探究共研型等比数列前n项和的实际应用探究1银行储蓄中的按“复利”计算是什么意思？并举例说明【提示】所谓“复利”，即把上期的本利和作为下一期的本金如把a万元现金存入银行，按年息P%计算，n年后的本利和为a(1P%)n1万元探究2“分期付款”是怎么一回事？【提示】(1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；(2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计算借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)【精彩点拨】结合分期付款的定义求解本题【自主解答】一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)由S1S2，得a.1.0161.061，a1 739.故每月应支付1 739元解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和再练一题3在一次人才招聘会上，A，B两家公司分别开出的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1 500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2 000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%.设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算在一家公司连续工作10年，仅从工资收入总量作为应聘标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司？为什么？【解】(1)设该人在A，B两家公司第n年的月工资分别为an，bn.由已知，得an构成等差数列，以1 500为首项，230为公差，an230n1 270.bn构成等比数列，以2 000为首项，以(15%)为公比，bn2 000(15%)n1.(2)若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S1012(a1a2a10)12304 200(元)；若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S1012(b1b2b10)12301 869(元)由于在A公司总收入多，因此该人应选择A公司构建体系1已知Sn是等比数列an的前n项和，a52，a816，则S6等于_. 【导学号：91730042】【解析】q3(2)3，q2，a1(2)(2)4(2)3，S6.【答案】2等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于_【解析】(S8S4)S42416，(S810)1016，S8170.【答案】1703一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和为_米(结果保留到个位)【解析】小球10次着地共经过的路程为100100501008299300(米)【答案】3004(2015安徽高考)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_【解析】设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，Sn2n1.【答案】2n15设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q.【解】当q1时，Snna1，S3S63a16a19a1S92S9；当q1时，2，得2q3q622q9，2q9q6q30，解得q3，或q31(舍去)，q.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和S10_.【解析】因为3an1an0，所以，所以数列an是以为公比的等比数列因为a2，所以a14，所以S103(1310)【答案】3(1310)2已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_. 【导学号：91730043】【解析】因为a1，a3是方程x25x40的两个根，且数列an是递增的等比数列，所以a11，a34，q2，所以S663.【答案】633已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为_【解析】易知公比q1.由9S3S6，得9，解得q2.是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为.【答案】4已知等比数列的前n项和Sn4na，则a_.【解析】SnAqnA，a1.【答案】15等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1_.【解析】设等比数列an的公比为q，因为S3a210a1，a59，所以解得所以a1.【答案】6在等比数列an中，若a1a2a3a4a5，a3，则_.【解析】设数列an的公比为q，则a31qq2，31.【答案】317某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_【解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，则n17，即n6.【答案】68设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q的值为_【解析】由题意可知，q1，Sn.又Sn1，Sn，Sn2成等差数列，2SnSn1Sn2，即22qn2qn1qn2，即2qq2，q2(q1不合题意舍去)【答案】2二、解答题9已知等比数列an中，a1，公比q.(1)Sn为an的前n项和，证明：Sn；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列bn的通项公式【解】(1)证明：因为ann1，Sn，所以Sn.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).所以bn的通项公式为bn.10从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第1年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式【解】第1年投入800万元，第2年投入800万元，第n年投入800n1万元，所以，总投入an800800800n14 000(万元)同理，第1年收入400万元，第2年收入400万元，第n年收入400n1万元所以，总收入bn400400400n11 600.能力提升1在等比数列an中，a1a2a3an2n1, 则aaaa等于_【解析】Sn，an为等比数列，a也为等比数列，aaaa(4n1)【答案】(4n1)2等比数列1，a，a2，a3，(a0)的前n项和Sn_. 【导学号：91730044】【解析】当a1时，Snn；当a1时，Sn.即Sn【答案】3等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为_【解析】由已知4S2S13S3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)，a23a3，an的公比q.【答案】4已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN*)