随机变量及其分布函数.ppt

高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(四) 概率论与数理统计 脚本编写：孟益民 教案制作：孟益民 第二章 随机变量及其分布 理解随机变量的概念。 理解分布函数的概念和性质。 理解离散型随机变量及概率分布（分布列）的概念 和性质。 理解连续型随机变量及概率密度的概念和性质。 掌握二顶分布，泊松（Poisson）分布，正态分布 ， 了解均匀分布与指数分布。 本章学习要求： 第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量及其分布律 一、随机变量 二、离散型随机变量及其概率分布 三、随机变量的分布函数 四、离散型随机变量的常见分布 一、随机变量( random variable ) X是一个变量，它取什么值与试验结果有关.也具有随机 性，称为随机变量. 例1 例2 定义定义 例 此映射具有如下特点 定义域 事件域 随机性 r.v. X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值。 概率特性 由于随机变量取不同的值表示着不同随机事件 因此随机变量X取值有确定的概率 . 引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表达随机事件 引入 r.v. 重要意义 任何随机现象可 被 r.v.描述 借助微积分方法 将讨论进行到底 二、离散型随机变量及其概率分布 定义定义 解 例3 从110这10个数字中随机取出5个数字，令： X ：取出的5个数字中的最大值 试求 X 的分布律 具体写出，即可得 X 的分布律： 解 例4 X 的取值为5，6，7，8，9，10 并且 将 1 枚硬币掷 3 次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差 试求 X 的分布律 解 例5 X 的取值为-3，-1，1，3 并且 设随机变量 X 的分布律为 由随机变量的性质，得 该级数为等比级数，故有 所以 解 例6 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每 盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表示汽 车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律 . (信号灯的工作是相互独立的). PX=3=(1-p)3p 例7 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为： X pk 0 1 2 3 4 p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或写成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4 解 以 p = 1/2 代入得： X pk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 例8 说明说明 显然，当 n =1 时 例9 解 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案， 其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能 答对4道题的概率是多少？ 则答5道题相当于做5重Bernoulli试验 每答一道题相当于做一次Bernoulli试验， 例10 解 所以 定理定理 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,., 而取各个值的 概率为 其中 0 是常数. 则称X 服从参数为 的泊松分布, 记为 X P( ). 易知, P(X=k)0, k=0,1,2,.,且有 泊松分布 分布律的验证 例10 解 设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600 次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布 近似计算） 设 B= 600次射击至少命中3次目标 进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验. 例 解 所以， 几 何 分 布 若随机变量 X 的分布律为 超几何分布 如果随机变量 X 的分布律为 二、随机变量的分布函数 定义定义 对任意实数a, b (ab), PaXbPXbPXaF(b)F(a). 设随机变量X 的概率分布表为 例11 解 一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的 跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应 随机变量取对应值的概率; 反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随 机变量必为离散型. 注 意 点 对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值. 证 证 反之，具有上述三个性质的实函数，