高考数学一轮复习 不等式选讲 第2节 不等式的证明课时分层训练 文 北师大版

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线课时分层训练(五十八)不等式的证明1已知定义在R上的函数f (x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.【导学号：66482493】解(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f (x)的最小值等于3，即a3. 4分(2)证明：法一：由(1)知pqr3，且p，q，r大于0，(pqr)29.又易知p2q2r2pqprqr. 8分故9(pqr)2p2q2r22pq2pr2qr3(p2q2r2)，因此，p2q2r23. 10分法二：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，故p2q2r23. 10分2(2015湖南高考)设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1. 2分(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2. 5分(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立. 2分故a3b324，当且仅当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4. 5分(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6. 10分4(2017石家庄模拟)已知函数f (x)|x|x1|.(1)若f (x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab.【导学号：66482495】解(1)f (x)|x|x1|x(x1)|1，当且仅当0x1时取等号，f (x)|x|x1|的最小值为1. 3分要使f (x)|m1|恒成立，只需|m1|1，0m2，则m的最大值M2. 5分(2)证明：由(1)知，a2b22，由a2b22ab，知ab1.又ab2，则(ab)2ab. 8分由知，1.故ab2ab. 10分5已知函数f (x)k|x3|，kR，且f (x3)0的解集为1,1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1.求证：a2b3c9.解(1)因为f (x)k|x3|，所以f (x3)0等价于|x|k，2分由|x|k有解，得k0，且解集为k，k因为f (x3)0的解集为1,1因此k1. 5分(2)证明：由(1)知1，因为a，b，c为正实数所以a2b3c(a2b3c)332229. 8分当且仅当a2b3c时等号成立因此a2b3c9. 10分6(2017福州质检)已知函数f (x)|x1|.(1)求不等式f (x)|2x1|1的解集M；(2)设a，bM，证明：f (ab)f (a)f (b).【导学号：66482496】解(1)当x1时，原不等式可化为x12x2，解得x1；2分当1x时，原不等式可化为x12x2，解得x1，此时原不等式无解；当x时，原不等式可化为x12x，解得x1.综上，Mx|x1或x1. 5分(2)证明：因为f (a)f (b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，6分所以，要证f (ab)f (a)f (b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，8分即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立