高中数学 第一章 坐标系 1_4 圆的极坐标方程学案 新人教b版选修4-4

1.4 圆的极坐标方程 读教材填要点圆的极坐标方程(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且圆过极点O，则圆的极坐标方程为2acos ，.(2)圆心在点处，且过极点的圆的极坐标方程为2asin_，0.小问题大思维相等的圆在同一极坐标中，极坐标方程是否相同？提示：不一定相等的圆只要在极坐标系中圆心的位置不同，极坐标方程就不一样求圆的极坐标方程例1求圆心在A，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程思路点拨结合题意作出图形，设出动点M(，)，根据条件建立，的关系式化简可求精解详析如图，设M(，)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有|OB|4，|OM|，MOB，BMO，从而BOM为直角三角形，所以有|OM|OB|cosMOB，即4cos4sin ，故所求圆的极坐标方程为4sin ，x2y24y，即x2(y2)24为所求圆的直角坐标方程(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法相同(2)用代入法求极坐标方程，设出要求轨迹的点的极坐标和与之相关的点的坐标，用相关点的坐标表示要求点的坐标，然后代入相关点坐标所满足的关系式即可求得要求点的轨迹方程1在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，Q点在圆周上运动(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P是OQ的中点，求P的轨迹解：(1)如图，设Q(，)为圆上任意一点，连接DQ，OQ，则|OD|6，DOQ，或DOQ，DQO.在RtODQ中，|OQ|OD|cos，即6cos.(2)若P的极坐标为(，)，则Q点的极坐标为(2，)26cos.所以3cos.P的轨迹是圆直线与圆的极坐标方程的应用例2在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标思路点拨本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法解答本题需要先求出圆与直线的一般方程，然后化一般方程为极坐标方程即可精解详析(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为：x2y2xy，即x2y2xy0.直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为：yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可2在极坐标系中，直线sin2被圆4截得的弦长为()A2B2C4 D4解析：选D直线sin2可化为xy20，圆4可化为x2y216，由圆中的弦长公式得22 4.对应学生用书P12一、选择题1在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是()A.B.C(1,0) D(1，)解析：选B该圆的直角坐标方程为x2y22y，即x2(y1)21，故圆心的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为，故选B.2极坐标方程cos所表示的曲线是()A双曲线 B椭圆C抛物线 D圆解析：选Dcoscos sin ，2cos sin ，x2y2xy，这个方程表示一个圆3在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin ，过点作曲线C的切线，则切线长为()A4 B.C2 D2解析：选C4sin 化为普通方程为x2(y2)24，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形由勾股定理：切线长为2.4点M，N分别是曲线sin 2和2cos 上的动点，则|MN|的最小值是()A1 B2C3 D4解析：选Asin 2化为普通方程为y2，2cos 化为普通方程为x2y22x0，即(x1)2y21，圆(x1)2y21上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y2的距离减去半径，即为211，故选A.二、填空题5极坐标方程sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程为_解析：由sin 2cos ，得2sin 2cos ，x2y22xy0.答案：x2y22xy06在极坐标系中，圆C的极坐标方程为2sin 过极点，一条直线l与圆相交于O，A两点，且AOx45，则OA_.解析：圆C的直角坐标方程为：x2(y1)21，圆心(0,1)到直线OA：yx的距离为，则弦长OA.答案：7在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R，则圆C的极坐标方程为_解析：将圆心C(2，)化成直角坐标为(1，)，半径R，故圆C的方程为(x1)2(y)25.再将圆C的方程化成极坐标方程，得(cos 1)2(sin )25.化简，得24cos10，即为所求的圆C的极坐标方程答案：24cos108若直线3x4ym0与曲线22cos 4sin 40没有公共点，则实数m的取值范围是_解析：曲线22cos 4sin 40的直角坐标方程是x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21.要使直线3x4ym0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，2)到直线3x4ym0的距离大于圆的半径即可，即1，|m5|5，解得m10.答案：(，0)(10，)三、解答题9.如图，在圆心极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程解：设M(，)是轨迹上任意一点，连接OM并延长交圆A于点P(0，0)，则有0，02.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos 得08cos 0，所以28cos ，即4cos .故所求轨迹方程是4cos .因为xcos ，ysin ，由4cos 得24cos ，所以x2y24x，即x2y24x0为轨迹的直角坐标方程10已知圆的极坐标方程为：24cos60.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值解：(1)原方程变形为：24cos 4sin 60，化成普通方程为x2y24x4y60.(2)圆的参数方程为(为参数)，所以xy42sin.那么xy的最大值为6，最小值为2.11圆O1和圆O2的极坐标方程分别为4cos ，sin .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程解：(1)xcos ，ysin ，由4cos 得24cos .所以x2y24x.即x2y24