高中数学 第一章 解三角形 1_2 应用举例（二）学案 新人教b版必修5

12应用举例(二)学习目标1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题知识链接有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用非常广泛，本节课我们来研究正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用要点一测量角度问题例1如图在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206，BC(海里)又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120.在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，缉私船应沿北偏东60的方向行驶，又在BCD中，CBD120，BCD30，CDB30，BDBC，即10t.t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟规律方法航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题跟踪演练1甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，BCat海里，ACat海里，B9030120，由得：sinCAB.0CAB90，CAB30.DAC603030.所以甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇要点二正、余弦定理在几何中的应用例2如图所示，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？解设AOB，在ABC中，由余弦定理，得AB2122222cos 54cos ，(0，)，于是，四边形OACB的面积为SSAOBSABCOAOBsin AB221sin (54cos )sin cos 2sin().因为00，由正弦定理得.sin C.C60(C120舍去，否则由8x7x，知B也为钝角，不合要求)由余弦定理得(7x)2(8x)215228x15cos 60，x28x150，解得x3或x5.AB21或AB35，在ABD中，ADABsin BAB，AD12或20.1已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10答案B解析如图，因ABC为等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010，故选B.2台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为()A0.5 h B1 h C1.5 h D2 h答案B解析设A地东北方向上点P到B的距离为30 km，APx.在ABP中，PB2AP2AB22APABcos A，即302x24022x40cos 45，化简得x240x7000.设该方程的两根为x1，x2，则|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即P1P220，故t1.故选B.3一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 n mile B10 n mileC20 n mile D20 n mile答案A解析 如图所示，由已知条件可得，CAB30，ABC105，AB4020(n mile)BCA45.由正弦定理可得.BC10(n mile)4如图，在四边形ABCD中，AC平分DAB，ABC60，AC6，AD5，SADC，则AB_.答案4解析在ADC中，已知AC6，AD5，SADC，则由SADCACADsin DAC，求得sin DAC，即DAC30， BAC30.而ABC60，故ABC为直角三角形； AC6， AB4.1在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解2解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要