高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 1 绝对值三角不等式同步配套教学案 新人教a版选修4-5

1绝对值三角不等式 对应学生用书P11绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立几何解释：用向量a，b分别替换a，b.当a与b不共线时，有|ab|a|b|，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边若a，b共线，当a与b同向时，|ab|a|b|，当a与b反向时，|ab|a|b|.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式定理1的推广：如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|.当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|ac|ab|bc|.当点B不在点A，C之间时：点B在A或C上时，|ac|ab|bc|；点B不在A，C上时，|ac|ab|bc|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值 对应学生用书P11含绝对值不等式的判断与证明例1已知|Aa|，|Bb|，|Cc|.求证：|(ABC)(abc)|s.思路点拨证明|(ABC)(abc)|(Aa)(Bb)(Cc)|(Aa)(Bb)|Cc|Aa|Bb|Cc|.因为|Aa|，|Bb|，|Cc|，所以|Aa|Bb|Cc|0，|xa|，|ya|.求证：|2x3y2a3b|.证明：|2x3y2a3b|2(xa)3(yb)|2(xa)|3(yb)|2|xa|3|yb|a恒成立，求a的取值范围解：a|x1|x2|对任意实数恒成立，a|x1|x2|min.|x1|x2|(x1)(x2)|3，3|x1|x2|3.(|x1|x2|)min3.a0时，右边等号成立；当ab|b|时左边等号才成立A不正确；显然B正确；当ab0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确答案：B2已知a，b，cR，且abc，则有()A|a|b|c| B|ab|bc|C|ab|bc| D|ac|ab|解析：a，b，cR，且abc，令a2，b1，c6.|a|2，|b|1，|c|6，|b|a|c|，故排除A.又|ab|2，|bc|6，|ab|bc|，故排除B.又|ab|3，|bc|5，|ab|ab|.答案：D3对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为()A5 B4C8 D7解析：由题意得，|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.答案：A4设|a|1，|b|2 B|ab|ab|2C|ab|ab|2 D不可能比较大小解析：当(ab)(ab)0时|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2.当(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|2.答案：B5(陕西高考)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：|xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得2a4.答案：2a46若1a8，4b2，则a|b|的取值范围是_解析：4b2则0|b|4，4|b|0.1a8，3a|b|1)；|ab|0，|a|，|b|.求证：|4a3b|3.证明：|a|，|b|，|4a3b|4a|3b|4|a|3|b|433.9设f(x)x2xb，|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明：f(x)f(a)x2xa2a(xa)(xa1)，|f(x)f(a)|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)2a1|xa|2a1|xa|2|a|12|a|22(|a|1)|f(x)f(a)|2(|a|1)10设函数y|x4|x3|.求(1)y的最小值；(2)使ya有解的a的取值范围；(3)使ya恒成立的a的最大值解：(1)当x3时，y(x4)(x3)72x是减函数，y7231.当3x4时，y(x4)(x3)1；当x4时，y(x4)(x3)2x7是增函数，y2471.ymin1.(2)由(1)知y1.要使y1.即a的取值范围为(1，)(3)要使ya恒成立，只要y的最小值1