高中数学 第二章 平面解析几何初步 习题课 直线与方程学案 苏教版必修2

第二章 平面解析几何初步学习目标1.掌握与直线有关的对称问题.2.通过解决最值问题体会数形结合思想与转化化归思想的应用.知识点一对称问题 1.点关于直线对称设点P(x0，y0)，l：AxByC0(AB0)，若点P关于l的对称点为点Q(x，y)，则l是线段PQ的垂直平分线，故PQl且PQ的中点在l上，解方程组即可得点Q的坐标.常用的结论(1)A(a，b)关于x轴的对称点为A(a，b).(2)B(a，b)关于y轴的对称点为B(a，b).(3)C(a，b)关于原点的对称点为C(a，b).(4)D(a，b)关于直线yx的对称点为D(b，a).(5)E(a，b)关于直线yx的对称点为E(b，a).(6)P(a，b)关于直线xm的对称点为P(2ma，b).(7)Q(a，b)关于直线yn的对称点为Q(a,2nb).2.直线关于点对称已知直线l的方程为AxByC0(A2B20)和点P(x0，y0)，求l关于点P的对称直线l的方程.设P(x，y)是对称直线l上的任意一点，它关于点P(x0，y0)的对称点(2x0x，2y0y)在直线l上，则A(2x0x)B(2y0y)C0，即AxByC0为所求的对称直线l的方程.3.直线关于直线对称一般转化为点关于直线对称的问题.在已知直线上任取一点，求此点关于对称轴的对称点，对称点必在对称直线上.常用的结论设直线l：AxByC0，则：(1)l关于x轴对称的直线是AxB(y)C0.(2)l关于y轴对称的直线是A(x)ByC0.(3)l关于原点对称的直线是A(x)B(y)C0.(4)l关于直线yx对称的直线是BxAyC0.(5)l关于直线yx对称的直线是A(y)B(x)C0.知识点二最值问题1.利用对称转化为两点之间的距离问题.2.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.3.利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值.类型一对称问题命题角度1关于点对称问题例1(1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P的坐标；(2)求直线3xy40关于点(2，1)的对称直线l的方程.反思与感悟(1)点关于点的对称问题若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则点P是线段AB的中点，并且(2)直线关于点的对称问题若两条直线l1，l2关于点P对称，则l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上.若l1l2，则点P到直线l1，l2的距离相等.过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.跟踪训练1已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是_.命题角度2关于直线对称问题例2点P(3,4)关于直线xy20的对称点Q的坐标是_.反思与感悟(1)点关于直线的对称问题求点P(x0，y0)关于AxByC0的对称点P(x，y)时，利用可以求出点P的坐标.(2)直线关于直线的对称问题若两条直线l1，l2关于直线l对称，则l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上.过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点.跟踪训练2求直线x2y10关于直线xy10对称的直线l的方程.类型二最值问题例3在直线yx2上求一点P，使得点P到直线l1：3x4y80和直线l2：3xy10的距离的平方和最小.反思与感悟解决此类问题通常有两种途径：一是利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离；二是利用距离公式转化为二次函数求最值问题.跟踪训练3已知实数x，y满足6x8y10，则 的最小值为_.类型三对称与最值的综合应用例4在直线l：3xy10上求一点P，使得：(1)点P到点A(4,1)和点B(0,4)的距离之差最大；(2)点P到点A(4,1)和点C(3,4)的距离之和最小.反思与感悟利用对称转化为两点间的距离是求解最值的一种常用方法.跟踪训练4已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4).(1)在直线l上求一点P，使PAPB最小；(2)在直线l上求一点P，使|PBPA|最大.1.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为_.2.设两条直线的方程分别为xya0，xyb0.已知a，b是方程x2xc0(0c)的两实根，则这两直线间距离的最大值为_.3.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线xy10对称，则a_，b_.4.已知点A(3，1)，B(5，2)，点P在直线xy0上，若使PAPB取最小值，则点P坐标是_.5.x，y满足xy10，求x2y22x2y2的最小值.1.对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称.在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型.转化思想是解决对称问题的主要思想方法，其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题.2.最值问题数形结合思想和转化化归思想常体现在求最值问题中.答案精析题型探究例1解(1)根据题意可知点A(a，b)为PP的中点，设点P的坐标为(x，y)，则根据中点坐标公式，得所以所以点P的坐标为(2ax0,2by0)(2)设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，1)的对称点为M1(4x，2y)，且M1在直线3xy40上，所以3(4x)(2y)40，即3xy100.所以所求直线l的方程为3xy100.跟踪训练1例2(2,5)跟踪训练2解由得两直线的交点为A(1,0)在直线x2y10上取点B，设点B关于直线xy10的对称点为C(x0，y0)，则有解得即点C的坐标为.由所求直线经过A、C两点，得，即2xy20，所求直线l的方程为2xy20.例3解设直线yx2上一点(x0，x02)到两直线的距离分别为d1和d2.d1，d2，设Sdd，S(x0)2，当x0时，S有最小值，这时，x02.所求点的坐标为.跟踪训练3例4解 (1)如图，点B关于l的对称点为B(3,3)直线AB的方程为2xy90，由解得即P(2,5)(2)如图，点C关于l的对称点为C(，)，由图象可知PAPCAC.当点P是AC与l的交点P(，)时“”成立，P(，)跟踪训练4解(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)因为P为直线l上的一点，则PAPBPAPBAB，当且仅当B，P，A三点共线时，PAPB取得最小值AB，点P即为直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2,3)(2)A，B两点在直线l的同侧，点P是直线l上的一点，则|PBPA|AB，当且仅当A，B，P三点共线时，|PBPA|取得最大值AB，点P即为直线AB与直线l的交点又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)当堂训练1x2y502.3.524.5解原式可化为(x1)2(y1)2，其几何意义为点P(x，y