高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义学案 北师大版选修1-1

2 导数的概念及其几何意义学习目标1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理定义式 _记法实质函数yf(x)在xx0处的导数就是yf(x)在xx0处的_知识点二导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线思考1割线PPn的斜率kn是多少？思考2当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？梳理(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为_的切线(2)导数f(x0)的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线的斜率k，即k_.(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为_类型一利用定义求导数例1求函数f(x)3x22x在x1处的导数反思与感悟求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0) .跟踪训练1利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数类型二求切线方程命题角度1求在某点处的切线方程例2已知曲线y2x2上一点A(1,2)，求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_命题角度2曲线过某点的切线方程例3求抛物线yx2过点(4，)的切线方程反思与感悟过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)；(2)建立方程f(x0)；(3)解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程跟踪训练3求过点(1，2)且与曲线y2xx3相切的直线方程类型三导数的几何意义的综合应用例4已知曲线f(x)x21与g(x)x31在xx0处的切线互相垂直，求x0的值引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系跟踪训练4已知直线l：y4xa与曲线C：yx32x23相切，求a的值及切点坐标1设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()Af(x)a Bf(x)bCf(x0)a Df(x0)b2曲线f(x)在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()A45 B60C135 D1203.如图，函数yf(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)f(2)等于()A4 B3C2 D14已知函数yax2b在点(1,3)处的切线斜率为2，则_.5求曲线y在点处的切线方程1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)2利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点答案精析问题导学知识点一思考1平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值梳理 f(x0)瞬时变化率知识点二思考1割线PPn的斜率kn.思考2kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)点P处(2)li f(x0)(3)yf(x0)f(x0)(xx0)题型探究例1解y3(1x)22(1x)(31221)3(x)24x，3x4，f(1) (3x4)4.跟踪训练1解由导数的定义知，函数在x2处的导数f(2) ，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是f(2) (x1)1.例2解(1)kli (42x)4，点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y24(x1)，即4xy20.跟踪训练23解析 (4x)4，曲线yx21在点(2,5)处的切线方程为y54(x2)，即y4x3.切线与y轴交点的纵坐标是3.例3解设切线在抛物线上的切点为(x0，x)， (x0x)x0.x0，即x8x070，解得x07或x01，即切线过抛物线yx2上的点(7，)，(1，)，故切线方程为y(x7)或y(x1)，化简得14x4y490或2x4y10，即为所求的切线方程跟踪训练3解 23x23xx(x)223x2.设切点坐标为(x0,2x0x)切线方程为y2x0x(23x)(xx0)又切线过点(1，2)，22x0x(23x)(1x0)，即2x3x0，x00或x0.切点坐标为(0,0)或.当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y2x，即2xy0.当切点坐标为时，切线斜率为，切线方程为y2(x1)，即19x4y270.综上可知，过点(1，2)且与曲线相切的切线方程为2xy0或19x4y270.例4解因为f(x0) (x2x0)2x0，g(x0) (x)23x0x3x3x，k12x0，k23x，因为切线互相垂直，所以k1k21，即6x1，解得x0.引申探究解由例4知，f(x0)2x0，g(x0)3x，k12x0，k23x，由题意知2x03x，得x00或.跟踪训练4解设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0) 3x24x，由题意可知k4，即3x4x04，解得x0或x02，切点的坐标为(，)或(2,3)当切点为(，)时，有4()a，a.当切点为(2,3)时，有342a，a5.当a时，切点坐标为(，)；当a5时，切点坐标为(2,3)当堂训练1C2.C3.D4.2