高中数学 第一章 立体几何初步 4_2 空间图形的公理(二)学案 北师大版必修2

4.2空间图形的公理(二)学习目标1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角知识点一平行公理(公理4)思考在平面内，直线a，b，c，若ab，bc，则ac.该结论在空间中是否成立？梳理平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行(2)符号表示：ac.知识点二空间两直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？梳理异面直线的概念(1)定义：不同在_平面内的两条直线(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托(3)判断两直线为异面直线的方法定义法；两直线既不平行也不相交(4)空间两条直线的三种位置关系从是否有公共点的角度来分：从是否共面的角度来分：知识点三等角定理思考观察图，在长方体ABCDABCD中，ADC与ADC，ADC与DAB的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？梳理等角定理空间中如果两个角的两边分别对应_，则这两个角_或_知识点四异面直线所成的角思考在长方体A1B1C1D1ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？梳理异面直线所成角的定义定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线aa，bb结论我们把a与b所成的_叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为，则_特殊情况当_时，a与b互相垂直，记作：_.类型一公理4及等角定理的应用例1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点求证：BMCB1M1C1.反思与感悟(1)空间两条直线平行的证明：定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能跟踪训练1如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.类型二异面直线例2(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是()A异面 B相交或平行C平行或异面 D相交、平行或异面(2)如图，已知正方体ABCDABCD.哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行只要既不相交，也不平行，就是异面直线跟踪训练2(1)在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？例3如图所示，已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角反思与感悟(1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点(2)求异面直线所成的角的一般步骤作角：平移成相交直线证明：用定义证明前一步的角为所求计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围跟踪训练3如图所示，在正方体ABCDABCD中，E，F分别为平面ABCD与AADD的中心，则EF与CD所成角的度数是_1一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面 B相交或异面C异面 D相交2若OAOA，OBOB，且AOB130，则AOB为()A130 B50 C130或50 D不能确定3下列四个结论中错误命题的个数是()垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a，b，c满足ab，bc，则ac；若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线A1 B2 C3 D44如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填序号)5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)答案精析问题导学知识点一思考成立知识点二思考平行与相交教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.梳理(1)任何一个(4)平行异面相交平行相交异面知识点三思考从图中可以看出，ADCADC，ADCDAB180. 梳理平行相等互补知识点四思考相等梳理锐角(或直角)09090ab题型探究例1证明在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，A1M1綊AM，四边形AMM1A1是平行四边形，A1A綊M1M.又A1A綊B1B，M1M綊B1B，四边形BB1M1M为平行四边形B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角BMCB1M1C1.跟踪训练1证明(1)如图 ，连接AC，在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ACD的中位线，MNAC，MNAC.由正方体的性质得ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1.又NDA1D1，DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均为锐角，DNMD1A1C1.例2D异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示(2)解由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线BA是异面直线跟踪训练2(1)8解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线428(对)(2)解还原的正方体如图所示异面直线有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.例3解如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PMAB，且PMAB；PNCD，且PNCD，所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角所以PMN(或其补角)为AB与MN所成的角因为直线AB与CD成60角，所以MPN60或MPN120.又因为ABCD，所以PMPN.(1)若MPN60，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.(2)若MPN120，则易知PMN是等腰三角形，所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上，直线AB与MN所成的角为60或30.跟踪训练345解析连接BD，则E为BD的中点，连接AB，则EFAB，又CDAB，所以BAB为异面直线EF与CD所成的角，即BAB45.当堂训练1B如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.2C根据定理，AOB与AOB相等或互补，即AOB130或AOB50.3B均为错误命题可举反例，如a、b、c三线两两垂直如图甲所示，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交4解析中，G，M是中点，AG綊BM，GM綊AB綊HN，GHMN，即G，H，M，N四点共面；中，H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；中，G，M是中点，GM綊CD，GM綊HN，即GMNH是梯形，则GH，MN必相交，H，G，M，N四点共面；中，同，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面5. 解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCDA1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角在AB1C中，由AB1ACB1C，可知B1CA60，