高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1_1_1 不等式的基本性质学案 新人教b版选修4-5

11.1不等式的基本性质读教材填要点1实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系设a，bR，则abab0；abab0；abab0.2不等式的基本性质(1)对称性abba(2)传递性ab，bcac(3)加(减)abacbc(4)乘(除)ab，c0acbc；ab，c0acbc(5)乘方ab0anbn(nN，n2)(6)开方ab0(nN，n2)(7)加法法测ab，caacbd(8)乘法法测ab0，cd0acbd小问题大思维1若xy，ab，则在axby，axby，axby，xbya，这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？提示：令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab，则ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立又ax6，by6，axby，因此也不正确又1，1，因此不正确由不等式的性质可推出恒成立即恒成立的不等式有.2若a吗？提示：不一定如a1，b2.事实上，当ab0时，若a；当ab0时，若ab，则有；当ab0时，若ab，则与中有一个式子无意义作差法比较大小例1xR，比较x31与2x22x的大小思路点拨本题考查利用作差法比较两个代数式的大小解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x31与2x22x的大小精解详析(x31)(2x22x)(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)x2x120，当x1时，(x1)(x2x1)0.即x312x22x；当x1时，(x1)(x2x1)0，即x312x22x.当x1时，(x1)(x2x1)0，即x312x22x.(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的程序进行，即：，其中变形是关键，定号是目的(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论1当a0时，比较(a2a1)(a2a1)与(a2a1)(a2a1)的大小解：两式作差得(a2a1)(a2a1)(a2a1)(a2a1)(a21)2(a)2(a21)2a2a2.a0，a20.(a2a1)(a2a1)(a2a1)(a2a1).不等式性质的简单应用例2下列命题中正确的是()(1)若ab，cb，则ac；(2)若ab，则lg0；(3)若ab，cd，则acbd；(4)若ab0，则成立的一个充要条件是()Am0nBnm0Cmn0 Dmn(mn)00mn(nm)0mn(mn)0.答案：D利用不等式的性质求取值范围例3已知，求2的取值范围思路点拨解答本题时，将，看作整体，再求出2的取值范围精解详析设2A()B()，则2(AB)(AB).比较两边系数得2()()()，()，2d，则“ab”是“acbd”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由ab；而当ac2，bd1时，满足但acbd不成立，所以“ab”是“acbd”的必要而不充分条件答案：B2已知a，b，cR，且ab0，则下面推理中正确的是()Aabam2bm2BabCa3b3 Da2b2ab解析：对于A，若m0，则不成立；对于B，若c0，则不成立；对于C，a3b30(ab)(a2abb2)0，a2abb2(a)2b20恒成立，ab0.ab.又ab0，.C成立对于D，a2b2(ab)(ab)0，不能说ab.答案：C3设a，bR，若a|b|0，则下列不等式正确的是()Aba0 Ba3b30Ca2b20解析：a|b|0，a|b|0.不论b取任何实数不等式ab0都成立答案：D4如果aR，且a2a0，那么a，a2，a，a2的大小关系是()Aa2aa2a Baa2a2aCaa2aa2 Da2aaa2解析：a2a0，即a(a1)0，可得，1a0，aa20，0a2a.综上有aa2a2a.答案：B二、填空题5若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)_g(x)解析：f(x)g(x)(3x2x1)(2x2x1)x22x2(x1)2110，f(x)g(x)答案：6已知12a60,15b36，则ab的取值范围分别是_解析：12a60，36b15，24aby，则实数a，b满足的条件是_解析：xy，a2b252aba24aa24a4a2b22ab1(a2)2(ab1)20.ab1或a2.答案：ab1或a2.三、解答题9已知，求，的范围解：，.因而两式相加得.又，.0，b0，且ab，(ab)20，ab0，ab0，ab.11已知，满足试求3的取值范围解：设3()u(2)(u)(2u).比较，的系数，得由题意得11,22