高中数学 第二章 参数方程 2_2_2 圆的参数方程学案 新人教b版选修4-4

22.2圆的参数方程读教材填要点如图，质点以匀角速度做圆周运动，圆心在原点，半径为R，记t为时间，运动开始时t0，质点位于点A处，在时刻t，质点位于点M(x，y)处，t，为Ox轴正向到向径所成的角，则圆的参数方程为(t0)，也可写成(02)若圆心在点M0(x0，y0)处，半径为R，则圆的参数方程为(02)小问题大思维1方程(02)是以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的标准方程为x2y2R2，即221.令则2参数方程(0)表示什么曲线？提示：表示圆心为(0,1)，半径为2的圆的上半部分即半圆(包括端点)求圆的参数方程例1点M在圆(xr)2y2r2(r0)上，O为原点，x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为.以为参数，求圆的参数方程思路点拨本题考查圆的参数方程的求法解答此题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与之间的关系，然后写出参数方程精解详析如图，设圆心为O，连接OM.当M在x轴上方时，MOx2.当M在x轴下方时，MOx2，即当M在x轴上时，对应0或.综上得圆的参数方程为.(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成的意义就改变了1设ytx(t为参数)，则圆x2y24y0的参数方程是_解析：把ytx代入x2y24y0，得x，y，参数方程为答案：圆的参数方程的应用例2(福建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围思路点拨(1)化参数方程为普通方程(2)利用圆心到直线的距离d4可求精解详析(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.解决此类问题的关键是化圆的参数方程为普通方程后再求解2. 设点M(x，y)在圆x2y21上移动，求点Q(x(xy)，y(xy)的轨迹的参数方程解：设M(cos ，sin )(02)，点Q(x1，y1)，则02，即为所求的参数方程例3已知点P(x，y)是圆02上的动点(1)求xy的取值范围；(2)若xya0恒成立，求实数a的取值范围思路点拨本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题解决本题需要正确求出圆x2y22y的参数方程，然后利用参数方程求解精解详析(1)P在圆上，xycos sin 12sin()1.21xy21，即xy的取值范围为1,3(2)xyacos sin 1a0，a(cos sin )1.又(cos sin )1sin()11，a1，即a的取值范围为1，)(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性3将参数方程(02)转化为直角坐标方程是_，该曲线上的点与定点A(1，1)的距离的最小值为_解析：易得直角坐标方程是(x1)2y21，所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径，易求得为1.答案：(x1)2y211一、选择题1圆的参数方程为02.则圆的圆心坐标为()A(0,2)B(0，2)C(2,0) D(2,0)解析：选D圆的普通方程为(x2)2y24.故圆心坐标为(2,0)2若直线2xy3c0与曲线(02)相切，则实数c等于()A2或8 B6或4C2或8 D4或6解析：选C将曲线(02)化为普通方程为x2y25，由直线2xy3c0与圆x2y25相切，可知，解得c2或8.3P(x，y)是曲线02上任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A36 B6C26 D25解析：选A设P(2cos ，sin )，代入得(2cos 5)2(sin 4)225sin2cos26cos 8sin 2610sin()(tan ，为锐角)最大值为36.4已知曲线C：(02)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b()A. BC0 D解析：选D将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2y24和yxb，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到1，解得b.二、填空题5把圆x2y22x4y10化为参数方程为_解析：圆x2y22x4y10的标准方程是(x1)2(y2)24，圆心为(1,2)，半径为2，故参数方程为(02)答案：(02)6已知圆C：与直线xya0有公共点，则实数a的取值范围为_解析：将圆C的方程代入直线方程，得cos 1sin a0，即a1(sin cos )1sin.1sin1，1a1.答案：1，17直线(t为参数)与圆(02)相切，则_.解析：直线为yxtan ，圆为(x4)2y24，作出图形，相切时，易知倾斜角为或.答案：或8已知动圆x2y22axcos 2bysin 0(a，b是正常数，且ab，为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为_解析：设P(x，y)为动圆的圆心，由x2y22axcos2bysin 0，得(xacos )2(ybsin )2a2cos2b2sin2.答案：三、解答题9已知圆的方程为x2y22x，写出它的参数方程解：x2y22x的标准方程为(x1)2y21.设x1cos ，ysin ，则参数方程为(02)10已知实数x，y满足x2(y1)21，求txy的最大值解：方程x2(y1)21表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆其参数方程为txycos sin 1sin()1.当sin()1时，tmax1.11已知过点M(2，1)的直线l：(t为参数)，与圆x2y24交于A、B两点， 求|AB|及|AM|BM|.解：l的参数方程为(t为参数)令t，则有(t是参数)其中t是点M(2，1)到直线l上的一点P(x，y)的有向线段的数量，代入圆的方程x2y24，化简得t23t10.0，可设t1、t2是方程的两根，由根与系数关系得t1