高中数学 第二章 数列 2_2_2 等差数列的前n项和（一）学案 新人教b版必修5

2.2.2等差数列的前n项和(一)学习目标1.体会等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个知识链接1设梯形的上底、下底、高分别为a，b，h，把两个相同的梯形一个倒置并成平行四边形，则梯形的面积为_答案2把二次函数y2x24x3化成ya(xh)2k的形式是_ ，当x _时，y有最_值_. 答案y2(x1)251大5解析y2x24x32(x1)25.x1时，y有最大值5.预习导引1等差数列前n项和公式(1)若an是等差数列，则Sn.(2) Sn也可以表示为Snna1n(n1)d.2数列中an与Sn的关系对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为an3等差数列前n项和的最值(1)因为等差数列前n项和可变为Snn2(a1)n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0，d0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定.要点一等差数列Sn中基本量的计算例1在等差数列an中，(1)已知S848，S12168，求a1和d；(2)已知a610，S55，求a8和S8；(3)已知a163，求S31.解(1)Snna1n(n1)d，解方程组得a18，d4.(2)a610，S55，解方程组得a15，d3，a8a62d102316，S844.(3)S3131a163133193.规律方法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用跟踪演练1在等差数列an中(1)a1，an，Sn5，求n和d.(2)a14，S8172，求a8和d.(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n.解(1)由题意，得Sn5，解得n15.又a15(151)d，d.(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.(3)由得解方程组得或要点二由数列的Sn求通项an例2(1)已知数列an的前n项和为Sn，且Snn23n，求证数列an是等差数列(2)数列an的前n项和Sn35n2n2，求使Sn最大的n.(1)证明a1S1132，当n2时，anSnSn1(n23n)(n1)23(n1)2n4，当n1时，2n42a1，an2n4.又因为anan1(2n4)2(n1)42(n2)，所以an是等差数列(2)解由Sn35n2n22(n)2.当且仅当n9时，Sn最大故n9.规律方法一般地，an与Sn有如下关系：ananSnSn1并非对所有的nN都成立，而只对n2的正整数成立由Sn求通项公式an时，要分n1和n2两种情形，然后验证n1时是否满足n2的解析式，若不满足，则用分段函数的形式表示跟踪演练2已知正数数列bn的前n项和Sn(bn1)2，求证bn为等差数列，并求其通项解当n2时，bnSnSn1，bn(bn1)2(bn11)2(bb2bn2bn1)整理，得bb2bn2bn10，(bnbn1)(bnbn12)0，bnbn10，bnbn12(n2)又b1(b11)2，b11，bn为等差数列，bn1(n1)22n1.要点三等差数列前n项和的最值例3在等差数列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值解方法一由S17S9，得2517(171)d259(91)d，解得d2，Sn25n(n1)(2)(n13)2169，当n13时，Sn有最大值169.方法二先求出d2，a1250，由得当n13时，Sn有最大值169.方法三由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140.d20，a130，a140，d0时，满足的项数n，使Sn取最大值当a10时，满足的项数n，使Sn取最小值，注意两个不等式都有等号跟踪演练3首项为正数的等差数列an，它的前3项和与前11项和相等，问此数列前多少项之和最大？解因为S3S11，则有3a111a1得da10.Snna1da1n2a1na1(n7)2a1.故当n7时，Sn最大，即前7项和最大1在等差数列an中，S10120，那么a1a10的值是()A12B24C36 D48答案B解析由S10，得a1a1024.2记等差数列前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A2 B3C6 D7答案B解析方法一由解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3S8，当n_时，Sn取到最大值答案5或6解析S3S8，S8S3a4a5a6a7a85a60，a60.a10，a1a2a3a4a5a60，a70.故当n5或6时，Sn最大4已知数列an的前n项和Sn32n，求an.解(1)当n1时，a1S1325.(2)当n2时，Sn132n1，又Sn32n，anSnSn12n2n12n1.又当n1时，a152111，an1等差数列前n项和公式推导及应用(1)公式的推导：在等差数列中a1ana2an1.故公式的推导中，用倒序相加法(2)当已知首项a1，末项an，项数n时，用公式Sn，用此公式时，有时要结合等差数列的性质(3)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Snna1d求和方便(4)上述两个公式均为等差数列的求和公式，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个，可求另外两个，而且方法就是解方程组