高中数学 第一章 导数及其应用 1_5 定积分的概念 1_5_3 定积分的概念教学案 新人教a版选修2-2

15.3定积分的概念预习课本P4547，思考并完成下列问题 (1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？(2)定积分的计算有哪些性质？1定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式( i)xf( i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxlif( i)，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式(2)定积分的几何意义：如果在区间a，b上函数连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)点睛利用定积分的几何意义求定积分的关注点(1)当f(x)0时，f(x)dx等于由直线xa，xb，y0与曲线yf(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义(2)计算f(x)dx时，先明确积分区间a，b，从而确定曲边梯形的三条直边xa，xb，y0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S而得到定积分的值：当f(x)0时，f(x)dxS；当f(x)0时，f(x)dxS.2定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0)的积分区间是()A2,2B0,2C2,0 D不确定解析：选A由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是2,22定积分(3)dx等于()A6 B6C3 D3解析：选A由定积分的几何意义知，(3)dx表示由x1，x3，y0及y3所围成的矩形面积的相反数，故(3)dx6.3下列命题不正确的是()A若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx0B若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx2f(x)dxC若f(x)在a，b上连续且恒正，则f(x)dx0D若f(x)在a，b上连续且f(x)dx0，则f(x)在a，b上恒正解析：选DA项，因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A项正确；B项，因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故y轴两侧的图象都在x轴上方或下方且面积相等，故B项正确；由定积分的几何意义知，C项显然正确；D项，f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)0的曲线围成的面积比f(x)0的曲线围成的面积大4设f(x)则f(x)dx的值是()A. x2dx B.2xdxC.x2dx2xdx D.2xdxx2dx解析：选D由定积分性质(3)求f(x)在区间1,1上的定积分，可以通过求f(x)在区间1,0与0,1上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.5下列各阴影部分的面积S不可以用Sf(x)g(x)dx求出的是()解析：选D定积分Sf(x)g(x)dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方对照各选项可知，D项中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方故选D.6若f(x)dx3，g(x)dx2，则f(x)g(x)dx_.解析：f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx325.答案：57若f(x)dx1，g(x)dx3，则2f(x)g(x)dx_.解析：2f(x)g(x)dx2f(x)dxg(x)dx2131.答案：18计算：dx_.解析：dx表示以原点为圆心，半径为4的圆的面积，dx424.答案：49化简下列各式，并画出各题所表示的图形的面积(1)x2dxx2dx；(2)(1x)dx(x1)dx.解：(1)原式x2dx，如图(1)所示(2)(1x)dx(x1)dx|1x|dx，如图(2)所示10已知函数f(x)求f(x)在区间1,3上的定积分解：由定积分的几何意义知：f(x)x5是奇函数，故x5dx0；sin xdx0(如图(1)所示)；xdx(1)(1)(21)(如图(2)所示)f(x)dxx5dxxdxsin xdxxdx(21)层级二应试能力达标1设f(x)是a，b上的连续函数，则f(x)dxf(t)dt的值()A小于零B等于零C大于零 D不能确定解析：选Bf(x)dx和f(t)dt都表示曲线yf(x)与xa，xb及y0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置所以其值为0.2(陕西高考)如图所示，图中曲线方程为yx21，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A.(x21)dxB.(x21)dxC.|x21|dxD.(x21)dx(x21)dx解析：选C由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S(1x2)dx(x21)dx|x21|dx，故选C.3设axdx，bx2dx，cx3dx，则a，b，c的大小关系是()Acab BabcCabc Dacb解析：选B根据定积分的几何意义，易知x3dxx2dxxdx，即abc，故选B.4已知t0，若(2x2)dx8，则t()A1 B2C2或4 D4解析：选D作出函数f(x)2x2的图象与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0，2)，易求得SOAB1，(2x2)dx8，且(2x2)dx1，t1，SAEF|AE|EF|(t1)(2t2)(t1)29，t4，故选D.5定积分(2)dx_.解析：原式2dxdx.因为2dx2，dx，所以(2)dx2.答案：26已知f(x)是一次函数，其图象过点(3,4)且f(x)dx1，则f(x)的解析式为_解析：设f(x)axb(a0)，f(x)图象过(3,4)点，3ab4.又f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab1. 解方程组得f(x)x.答案：f(x)x7一辆汽车的速度时间曲线如图所示，用定积分法求汽车在这一分钟内行驶的路程解：依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为sv(t)dttdt(50t)dt10dt300400200900(米)8求证：dx1.证明：如图，dx表