高中数学第二章数列2_2_3等差数列的前n项和一课件苏教版必修5

第2章 2.2 等差数列 2.2.3 等差数列的前n项和(一) 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学 会观察、归纳、反思. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能 够由其中三个求另外两个. 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一 等差数列前n项和公式的推导 思考 答案 高斯用123100(1100)(299)(5051) 10150迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求12 3n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？ 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相 加来回避这个问题：设Sn123(n1)n， 又Snn(n1)(n2)21， 2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)， 梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方 法如下： Sna1a2a3an1an a1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d； Snanan1an2a2a1 an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d. 两式相加，得2Snn(a1an)， 根据等差数列的通项公式ana1(n1)d， 代入上式可得Snna1 . 等差数列an中，若已知a27，能求出前3项和S3吗？ 知识点二 等差数列前n项和公式的特征 思考1 答案 思考2 答案 如果an是等差数列，那么a1a2a10，a11a12 a20，a21a22a30是等差数列吗？ 知识点三 等差数列前n项和公式的性质 思考 答案 (a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2) (a20a10) 10d10d10d100d，类似可得 10个 (a21a22a30)(a11a12a20)100d. a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是 等差数列. 梳理 Sm，S2m，S3m分别为等差数列an的前m项，前2m项，前3m 项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d. 题型探究 类型一 等差数列前n项和公式的应用 命题角度1 方程思想 例1 已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1 220 ，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ 解答 方法一 由题意知S10310，S201 220， (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和 整体思想的运用； (2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其 三能求其二. 反思与感悟 跟踪训练1 在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n. 解答 命题角度2 实际应用 例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天 先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率 为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付 款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多 少钱？ 解答 设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则 a1501 0001%60(元)， a250(1 00050)1%59.5(元)， a1050(1 000950)1%55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元. 由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列， 即全部付清后实际付款1 1051501 255(元). 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或 者首项、末项和项数.本题是根据首项和公差选择前n项和公式 进行求解. 反思与感悟 跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1 分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ 解答 (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走 1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解答 类型二 等差数列前n项和的性质的应用 例3 (1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的 前3m项的和S3m； 解答 方法一 在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列， 30,70，S3m100成等差数列. 27030(S3m100)，S3m210. 即S3m3(S2mSm)3(10030)210. 解答 反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可 以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. 解答 当堂训练 1.在等差数列an中，若S10120，则a1a10的值是_. 答案解析 1234 24 2.记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d _. 1234 答案解析 3 方法二 由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以2044 4d，解得d3. 3.在一个等差数列中，已知a1010，则S19_. 1234 答案解析 190 1910190. 解答 整理得n27n600， 解得n12或n5(舍去)， n12，ana124. 1234 解答 又由ana1(n1)d，即5121(41)d， 解得d171. 1234 (2)a11，an512，Sn1 022，求d. 规律与方法 1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中 也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若 已知其中三个量，通过方程思