高中数学 第一章 导数及其应用 1_3 导数在研究函数中的应用 1_3_3 函数的最大（小）值与导数教学案 新人教a版选修2-2

13.3函数的最大(小)值与导数预习课本P2931，思考并完成下列问题(1)什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？(2)函数的最值与极值有什么关系？(3)求函数最值的方法和步骤是什么？1函数yf(x)在闭区间a，b上取得最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值点睛对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值. 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念(3)函数yf(x)在a，b上连续，是函数yf(x)在a，b上有最大值或最小值的充分而非必要条件2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a,_b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值点睛函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()答案：(1)(2)(3)2若函数f(x)x42x23，则f(x)()A最大值为4，最小值为4B最大值为4，无最小值C最小值为4，无最大值D既无最大值，也无最小值答案：B3函数f(x)3xsin x在x0，上的最小值为_答案：14已知f(x)x2mx1在区间2，1上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_答案：(4，2)求函数的极值典例求函数f(x)4x33x236x5在区间2，)上的最值解f(x)12x26x36，令f(x)0，得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2f(x)00f(x)57由于当x时，f(x)0，所以f(x)在上为增函数因此，函数f(x)在2，)上只有最小值，无最大值求函数最值的四个步骤第一步求函数的定义域第二步求f(x)，解方程f(x)0.第三步列出关于x，f(x)，f(x)的变化表第四步求极值、端点值，确定最值 活学活用函数yx2cos x在上取最大值时，x的值为() A0B.C. D.解析：选By12sin x，令y0，得sin x，x，x. 由y0得sin x，0x；由y，2，当x时取最大值，故应选B.由函数的最值求参数的取值范围典例 (1)函数f(x)x3x2xa在区间0,2上的最大值是3，则a等于()A3B1C2D1(2)已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2，2上的最大值解析(1)f(x)3x22x1，令f(x)0，解得x(舍去)或x1，又f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，则f(2)最大，即a23，所以a1.答案：B(2)解：f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0或x2.又f(0)a，f(2)a8，f(2)a40.f(0)f(2)f(2)，所以当x2时，f(x)mina4037，得a3.所以当x0时，f(x)max3.已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决活学活用 已知函数f(x)ax36ax2b，问是否存在实数a，b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解：存在显然a0.f(x)3ax212ax3ax(x4)令f(x)0，解得x10，x24(舍去)(1)当a0，x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x1,0)0(0,2f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减所以当x0时，f(x)取得最大值，所以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2)所以当x2时，f(x)取得最小值，即16a329，解得a2.(2)当af(1)所以当x2时，f(x)取得最大值，f(2)16a293，解得a2，综上可得，a2，b3或a2，b29.与最值有关的恒成立问题典例已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因为f(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x1(1，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的递增区间为和(1，)；递减区间为.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，fc为极大值，因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值要使f(x)f(2)2c，解得c2.故c的取值范围为(，1)(2，)一题多变1变设问若本例中条件不变，“把(2)中对x1,2，不等式f(x)c2恒成立”改为“若存在x1,2，不等式f(x)c，所以f(1)c为最小值因为存在x1,2，不等式f(x)f(1)c，即2c22c30，解得cR.2变条件，变设问已知函数f(x)x3axb(a，bR)在x2处取得极小值.(1)求f(x)的单调递增区间(2)若f(x)m2m在4,3上恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)x2a，由f(2)0，得a4；再由f(2)，得b4.所以f(x)x34x4，f(x)x24.令f(x)x240，得x2或x2.所以f(x)的单调递增区间为(，2)，(2，)(2)因为f(4)，f(2)，f(2)，f(3)1，所以函数f(x)在4,3上的最大值为.要使f(x)m2m在4,3上恒成立，只需m2m，解得m2或m3.所以实数m的取值范围是(，32，)恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f(x)f(x)max，则上面的不等式恒成立(2)要使不等式f(x)h在区间m，n上恒成立，可先在区间m，n上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)minh，则不等式f(x)h恒成立 层级一学业水平达标1设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f(x)()A等于0B小于0C等于1 D不确定解析： 选A因为Mm，所以f(x)为常数函数，故f(x)0，故选A.2函数y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分别是()A12，8 B1，8C12，15 D5，16解析：选Ay6x26x12，由y0x1或x2(舍去)x2时，y1；x1时，y12；x1时，y8. ymax12，ymin8.故选A.3函数f(x)x44x(|x|1)()A有最大值，无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，有最小值D既无最大值，也无最小值解析：选Df(x)4x344(x1)(x2x1)令f(x)0，得x1.又x(1,1)且1(1,1)，该方程无解，故函数f(x)在(1,1)上既无极值也无最值故选D.4函数f(x)2，x(0,5的最小值为()A2 B3C. D2解析：选B由f(x)0，得x1，且x(0,1)时，f(x)0，x(1,5时，f(x)0，x1时，f(x)最小，最小值为f(1)3.5函数y的最大值为()Ae1 BeCe2 D10解析：选A令y0xe.当xe时，y0；当0xe时，y0，所以y极大值f(e)e1，在定义域内只有一个极值，所以ymaxe1.6函数yx(x0)的最大值为_解析：y1，令y0得x.0x时，y0；x时，y0.x时，ymax.答案：7函数f(x)xex，x0,4的最小值为_解析：f(x)exxexex(1x)令f(x)0，得x1(ex0)，f(1)0，f(0)0，f(4)0，所以f(x)的最小值为0.答案：08若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为m，n，则mn_.解析：f(x)3x23，当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0.f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：209设函数f(x)exx2x.(1)若k0，求f(x)的最小值；(2)若k1，讨论函数f(x)的单调性解：(1)k0时，f(x)exx，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0，所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)1.(2)若k1，则f(x)exx2x，定义域为R.f(x)exx1，令g(x)exx1，则g(x)ex1，由g(x)0得x0，所以g(x)在0，)上单调递增，由g(x)0得x0，所以g(x)在(，0)上单调递减，g(x)ming(0)0，即f(x)min0，故f(x)0.所以f(x)在R上单调递增10已知函数f(x)x3ax2bx5，曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线方程为y3x1.(1)求a，b的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值解：(1)依题意可知点P(1，f(1)为切点，代入切线方程y3x1可得，f(1)3114，f(1)1ab54，即ab2，又由f(x)x3ax2bx5得，又f(x)3x22axb，而由切线y3x1的斜率可知f(1)3，32ab3，即2ab0，由解得a2，b4.(2)由(1)知f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4(3x2)(x2)，令f(x)0，得x或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3，2)21f(x)00f(x)8极大值极小值4f(x)的极大值为f(2)13，极小值为f，又f(3)8，f(1)4，f(x)在3,1上的最大值为13.层级二应试能力达标1函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A0,1)B(0,1)C(1,1) D.解析：选Bf(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2，又x(0,1)，0a1，故选B.2若函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A10 B71C15 D22解析：选Bf(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0，得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.3设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为()A1 B.C. D.解析：选D因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|f(x)g(x)x2ln x，设h(x)x2ln x，则h(x)2x，令h(x)0，得x，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x时有最小值，故t.4函数f(x)x3ax2在区间1，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A3，) B3，)C(3，) D(，3)解析：选Bf(x)x3ax2在1，)上是增函数，f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，又在1，)上(3x2)max3，a3.5设函数f(x)x2ex，若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，则实数m的取值范围是_解析：f(x)xexx2exx(x2)，由f(x)0得x0或x2.当x2,2时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)递减递增当x0时，f(x)minf(0)0，要使f(x)m对x2,2恒成立，只需mf(x)min，m0.答案：(，0)6已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a_.解析：y2x2，令y0，得x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若a1，则最大值为f(a)a22a3，解之得a；若a1，则最大值为f(1)1234.综上知，a.答案：7已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解：(1)f(x)3ax22xb，g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.g(x)是奇函数，g(x)g(x)，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，g(x)x22，令g(x)0.解得x1(舍去)，x2，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).8已知函数f(x)ln x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值是，求a的值解：函数f(x)ln x的定义域为(0，)，f(x)，(1)a0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)x1，e时，分如下情况讨论：当a0，函数f(x)单调递增，其最