高中数学 第二章 圆锥曲线 3 柱面与平面的截面学案 北师大版选修4-1

3 柱面与平面的截面对应学生用书P361圆柱面可以看成是一个矩形ABCD以一边CD所在的直线为轴旋转一周后AB边所形成的曲面2平面上一条曲线C绕着一条直线l旋转一周后所形成的曲面称为旋转面3用垂直于圆柱轴的平面截圆柱，所得交线是圆4当截面与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆将两个球放入圆柱内，使它们位于平面的两侧，且每一个球既与圆柱相切，又与平面相切那么平面与圆柱面的截线是什么？提示：椭圆对应学生用书P37椭圆的度量性质例1已知平面与一圆柱的母线成45角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率是()AB1C D思路点拨本题主要考查椭圆的度量性质，解决此题时只需结合椭圆的性质求解即可精解详析设圆柱的底半径为r，由题意知平面与圆柱截口图形为椭圆，短轴长为2b2r，则2a2b2r，ar，cr离心率e答案C椭圆是圆柱与平面的截口，因此椭圆的度量性质与圆柱的底面半径、截面与母线的夹角相关1已知圆柱的底面半径为r，平面与圆柱母线的夹角为30，则它们截口椭圆的焦距是()A2r B4rCr D3r解析：选A如图，过G2作G2HAD，H为垂足，则G2H2r.在RtG1G2H中，G1G22r24r，长轴2aG1G24r，短轴2b2r.焦距2c22r2r.椭圆的性质的应用例2如图，已知球O1，O2分别切平面于点F1，F2.G1G22a，Q1Q22b，G1G2与Q1Q2垂直且互相平分，求证：F1F22.思路点拨本题主要考查椭圆性质的应用解决时要结合图形，依据圆柱、双球及其截面的关系综合应用相关性质去求解精解详析连接AB，过G1作G1HBG2，H为垂足，则四边形ABHG1是矩形G1HAB.设P1，P2分别是Q1，Q2的平行射影，连接P1P2，P1Q1，P2Q2，则P1Q1綊P2Q2.P1Q1Q2P2是平行四边形Q1Q2P1P2，即Q1Q2等于底面直径，G1HABQ1Q22b.又由切线长定理得G1AG1F1G2F2，G2F1G2B，G2F1G2F2G2BG1A.又G1ABH，G2F1G2F2G2BBH.F1F2G2H.在RtG1G2H中，G2H2 .如图将双球放入圆柱内，可得：(1)圆柱形物体的斜截口是椭圆(2)椭圆的长轴长为AD，短轴长为圆的直径焦点为切点F1，F2.焦距2c2F1F2.解决并应用此类问题时，要仔细考查双球与圆柱及截面的关系，常用到切线长定理、三角形相似、全等、解直角三角形等相关知识2如图，已知PF1PF213，AB12，G1G220，求PQ.解：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c.由已知可得a10，b6，c8，e.由椭圆定义PF1PF2K1K2G1G220.又PF1PF213，PF15，PF215.由离心率定义，.PQ.本课时考点常以客观题形式考查平面与柱面的截线的几何性质及应用难度中等考题印证已知圆柱底面半径为，平面与圆柱母线夹角为60，在平面上以G1G2所在直线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面与圆柱截口椭圆的方程命题立意本题主要考查利用柱面与平面的截线性质及椭圆的定义求方程问题自主尝试如图，过G1作G1HBC于H.圆柱底面半径为，AB2.四边形ABHG1是矩形，ABG1H2.在RtG1G2H中，G1G24.又椭圆短轴长等于底面圆的直径2，椭圆的标准方程为1.对应学生用书P38一、选择题1用一个平面去截一个圆柱面，其截线是()A圆B椭圆C两条平行线 D以上均可能解析：选D平面与轴垂直时截线为圆；不垂直时截线可为椭圆；平面平行于轴自上而下时是两平行线2已知平面与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为，则平面与圆柱母线的夹角是()A30 B60C45 D90解析：选A设与母线夹角为，则cos，30.3如图所示，过F1作F1QG1G2，QF1F2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()ABC2D1解析：选D设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c.QF1F2是等腰直角三角形，QF1F1F22c，QF22c.由椭圆的定义得QF1QF22a，e1.4两圆柱底面半径分别为R，r(Rr)，平面与它们的母线的夹角分别为，(e2 Be1e2Ce1e2 D无法确定解析：选Ae1cos，e2cos又cos，e1e2.二、填空题5椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是 解析：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a,2b,2c，由a2c，得，即e.答案：6如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 解析：1表示焦点在y轴上的椭圆，则2，则0k1.答案：(0,1)7已知平面截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成的角为30，此曲线是 ，它的离心率为 解析：曲线是椭圆，e.答案：椭圆8已知圆柱底面半径为b，平面与圆柱母线夹角为30，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是b，则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是 解析：由题意知，椭圆短轴为2b，长轴长2a4b，cb.e(或ecos30)设P到F1的距离为d，则，db.又PF1PF22a4b，PF24bPF14bbb.答案：三、解答题9如图所示，圆柱被平面所截，已知AC是圆柱口在平面上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EGFH.(1)比较EF，GH的大小；(2)若圆柱的底面半径为r，截面与母线的夹角为，求CD.解：(1)EGFH且EGFH，四边形EFHG是平行四边形EFGH.(2)过D作DPAC于P，在RtCDP中，sinDCP，CD.10如图所示，设两焦点的距离F1F22c，两端点G1G22a，求证：l1与l2之间的距离为.证明：设椭圆上任意一点P，过P作PQ1l1于Q1，过P作PQ2l2于Q2，e，PF1PQ1，PF2PQ2.由椭圆定义PF1PF22a，PQ1PQ22a.PQ1PQ2，即l1与l2之间的距离为.11如图，设两焦点的距离F1F22c，两端点距离G1G22a，截面与圆柱母线的夹角为.求证：P到F1的距离与到l1的距离比等于.证明：过G1作G1HBC于H，则G1ABH.由切线长定理得G2F1G2B，G1AG1F1G2F2，G2F1G2F2G2BBH.G2HF1F22c.在PQK1和G2G1H中，QPK1G1