高考数学二轮复习 第2部分 八大难点突破 难点7 函数零点、单调性、极值等综合问题学案

难点七函数零点、单调性、极值等综合问题(对应学生用书第73页)函数零点、单调性、极值都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与导数是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数思想的运用是我们解决问题的重要手段，而导数是我们解决问题的一个行之有效的工具1函数零点函数零点问题主要是研究函数与方程问题，方程f (x)0的解就是函数yf (x)的图象与x轴的交点的横坐标，即零点函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的. 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大【例1】(2017江苏高考)已知函数f (x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数f (x)的极值点是f (x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；(3)若f (x)，f (x)这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围. 【导学号：56394108】解(1)由f (x)x3ax2bx1，得f (x)3x22axb32b.当x时，f (x)有极小值b.因为f (x)的极值点是f (x)的零点，所以f 10.又a0，故b.因为f (x)有极值，故f (x)0有实根，从而b(27a3)0，即a3.当a3时，f (x)0(x1)，故f (x)在R上是增函数，f (x)没有极值；当a3时，f (x)0有两个相异的实根x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f (x)00f (x)极大值极小值故f (x)的极值点是x1，x2.从而a3.因此b，定义域为(3，)(2)证明：由(1)知，.设g(t)，则g(t).当t时，g(t)0，从而g(t)在上单调递增因为a3，所以a3，故g(a)g(3)，即.因此b23a.(3)由(1)知，f (x)的极值点是x1，x2，且x1x2a，xx.从而f (x1)f (x2)xaxbx11xaxbx21(3x2ax1b)(3x2ax2b)a(xx)b(x1x2)220.记f (x)，f (x)所有极值之和为h(a)，因为f (x)的极值为ba2，所以h(a)a2，a3.因为h(a)af (0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)证明：g(x)(f (x)a)由(1)知，f (x)a单调递增对任意a0,1)，f (0)aa10，f (2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f (xa)a0，即g(xa)0.当0xxa时，f (x)a0，g(x)xa时，f (x)a0，g(x)0，g(x)单调递增因此g(x)在xxa处取得最小值，最小值为于是h(a).由0，得y单调递增，所以，由xa(0,2，得h(a).因为y单调递增，对任意，存在唯一的xa(0,2，af (xa)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.综上，当a0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.【例6】设函数f (x)xeaxbx，曲线yf (x)在点(2，f (2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f (x)的单调区间解(1)因为f (x)xeaxbx，所以f (x)(1x)eaxb.依题设，即解得(2)由(1)知f (x)xe2xex.由f (x)e2x(1xex1)及e2x0知，f (x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f (x)0，x(，)，故f (x)的单调递增区间为(，)方法总结函数性质与方程综合时，要先将函数性质剖析清楚，尤其是单调性和对称性，然后再研究函数零点问题；函数与不等式综合时，重点是要学会构造函数，利用函数单调性、最值进行研究；函数、方程与不等式综合在