高中数学 第二单元 平面向量 2_1_1 向量的概念学案 北师大版必修4

2.1.1向量的概念学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识点一向量的概念及表示思考1在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？思考2向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？思考3向量可以用有向线段表示，那么能否说向量就是有向线段？梳理(1)向量：具有大小和_的量称为向量.只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做_.(2)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫做_线段.点A叫做有向线段的_，点B叫做有向线段的_.有向线段的方向表示向量的_，线段的长度表示位移的_，位移的距离叫做向量的_.(3)以A为始点，以B为终边的有向线段记作，的长度记作|，如果有向量线段表示一个向量，通常我们就说向量.知识点二相等向量思考1已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？思考2两向量相等需要具备哪些条件？梳理(1)同向且等长的有向线段表示_向量，或_的向量.(2)如果a，那么的长度表示向量a的大小，也叫做a的长(或模)，记作|a|.两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作ab.知识点三向量共线或平行思考1共线向量的方向有何特征？思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？梳理(1)通过有向线段的直线，叫做向量的_(如图).如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量_或_.向量a平行于b，记作ab.(2)长度等于零的向量，叫做_，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量_.知识点四位置向量任给一定点O和向量a(如图)，过点O作有向线段a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的_.类型一向量的概念例1下列说法正确的是()A.向量与向量的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.跟踪训练1下列说法正确的有_.(填序号)若|a|b|，则ab或ab；向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；向量与是平行向量.类型二共线向量与相等向量例2如图所示，ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.(1)写出与共线的向量；(2)写出与的模大小相等的向量；(3)写出与相等的向量.反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练2如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.(1)与的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3)与共线的向量有哪些？类型三向量的表示及应用例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.(1)作出向量、；(2)求|.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？1.下列结论正确的个数是()温度含零上和零下温度，所以温度是向量；向量的模是一个正实数；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；若|a|b|，则ab.A.0 B.1C.2 D.32.下列说法错误的是()A.若a0，则|a|0B.零向量是没有方向的C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是()A. B.|C. D.4.如图所示，在以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与、相等的向量；(2)写出与的模相等的向量.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意一个特殊向量零向量，零向量的长度为0，方向不确定，通常规定零向量与任意向量平行.答案精析问题导学知识点一思考1面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向思考2可以用一条有向线段表示思考3向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段梳理(1)方向自由向量(2)有向始点终点方向距离长度知识点二思考1因为向量和向量方向不同，所以二者不相等思考2需要具备两个条件：长度相等、方向相同梳理(1)同一相等知识点三思考1共线向量的方向相同或相反思考2不相同我们说到向量，指的都是自由向量，因此向量可以任意移动由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合梳理(1)基线共线平行(2)零向量平行知识点四位置向量题型探究例1A跟踪训练1例2解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，所以与共线的向量有，.(2)与模相等的向量有，.(3)与相等的向量有，.跟踪训练2解(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个(2)存在由正六边形的性质可知，BCAOEF，所以与长度相等、方向相反的向量有，共4个(3)由(2)知，BCOAEF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，共9个例3解(1)向量、如图所示(2)由题意易知，与方向相反，故与共线又|，在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，|200 km.跟踪训练3解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)(2)由平面几何知识可知，