高中数学 第二章 平面解析几何初步 2_2_2 第1课时 直线的点斜式方程学案 新人教b版必修2

2.2.2 第1课时直线的点斜式方程学习目标1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义.预习导引1.直线方程的几种形式名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0) 和斜率kyy0k(xx0)斜率存在斜截式斜率k和在y轴上的截距bykxb斜率存在2.直线的截距如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，代入直线点斜式方程化简得ykxb，则称b为直线l在y轴上的截距.要点一直线的点斜式方程例1求满足下列条件的直线的点斜式方程.(1)过点P(4,3)，斜率k3；(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；(3)过P(2,3)，Q(5，4)两点.解(1)直线过点P(4,3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4)，(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)，即y40.(3)过点P(2,3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ1.又直线过点P(2,3)，直线的点斜式方程为y3(x2).规律方法(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0).(2)点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但xx0除外.跟踪演练1过点(1,2)，且倾斜角为135的直线方程为_.答案xy10解析ktan 1351，由直线的点斜式方程得y2(x1)，即xy10.要点二直线的斜截式方程例2根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角150，斜率ktan 150.由斜截式可得方程为yx2.(3)直线的倾斜角为60，其斜率ktan 60，直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.规律方法1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“yx3”.2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.跟踪演练2写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是3；(2)倾斜角是60，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30，在y轴上的截距是0.解(1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y3x3.(2)由题意可知，直线的斜率ktan 60，所求直线的方程为yx5.(3)由题意可知所求直线的斜率ktan 30，由直线方程的斜截式可知，直线方程为yx.要点三直线过定点问题例3求证：不论m为何值，直线l：y(m1)x2m1总过第二象限.证明方法一直线l的方程可化为y3(m1)(x2)，直线l过定点(2,3)，由于点(2,3)在第二象限，故直线l总过第二象限.方法二直线l的方程可化为m(x2)(xy1)0.令解得无论m取何值，直线l总经过点(2,3).点(2,3)在第二象限，直线l总过第二象限.规律方法本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，方法一体现了点斜式的应用，方法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想.跟踪演练3已知直线y(32k)x6不经过第一象限，求k的取值范围.解由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k.所以，k的取值范围是.1.已知直线的方程是y2x1，则()A.直线经过点(1,2)，斜率为1B.直线经过点(2，1)，斜率为1C.直线经过点(1，2)，斜率为1D.直线经过点(2，1)，斜率为1答案C解析方程变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.2.直线y2(x1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A.60，2 B.120，2C.60，2 D.120，2答案B解析该直线的斜率为，当x0时，y2，其倾斜角为120，在y轴上的截距为2.3.直线ykxb通过第一、三、四象限，则有()A.k0，b0 B.k0，b0C.k0 D.k0，b0，b0.4.斜率为4，经过点(2，3)的直线方程是_.答案y4x115.已知直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为_.答案x3解析直线yx1的斜率为1，所以倾斜角为45，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90，其斜率不存在.又直线过定点P(3,3)，所以直线l的方程为x3.1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线ybk(x0)，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函