高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第61讲 立体几何探究点的位置的方法

第61讲 立体几何探究点的位置的方法【知识要点】立体几何探究点的位置的方法一般有两种：猜想证明法和设点解方程法.【方法讲评】方法一猜想证明法使用情景点的位置刚好很特殊（中点等），证明也比较方便.解题步骤一般先猜想特殊位置（中点，等分点等），再证明.【例1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面. 若.（1）求证：平面；（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（3）求二面角的余弦值.又因为， 所以平面. （3）由（1）知，底面，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则（0，0，1），(1,0,0)，(0,2,0),(1,1,0)，则=(1,1,-1),=(-1,1,0)，显然平面，所以为平面的一个法向量.设面的一个法向量=()，则=0且=0，取=1，则=1，=2，则.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以 即二面角的余弦值为. 【点评】 (1)由于,所以观察联想取的中点试验证明，刚好又可以证明点满足条件. （2）这种猜想证明法是有局限的，如果动点不是特殊点，那就不好处理，既浪费了考试的时间， 又给自己制造了紧张气氛. 【反馈检测1】在长方体中，过，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为.（1）证明：直线平面;（2）求棱的长;（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.方法二设点解方程法使用情景方法比较普遍，适用于大多数题目.解题步骤先设点,且，再用表示点的坐标，最后把点的坐标代入已知的某个条件等式求出的值，即得点的位置.【例2】如图，四棱柱中, 侧棱底面，为棱的中点. (1) 证明：；(2) 设点在线段上, 且直线与平面所成角的正弦值为, 求线段的长. ED1C1B1A1DCBA【点评】(1)本题试验中点，发现证明不了，所以最好直接利用设点解方程组法.先设点,且，再用表示点的坐标，最后把点的坐标代入已知的某个条件等式求出的值，即得点的位置.(2)在设点时，要注意的范围，以免出现增解.(3)设点时，有时不需要设三个未知数，要结合实际情况，确定未知数的个数.【反馈检测2】如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【反馈检测3】如图，的外接圆的半径为，所在的平面，且，（1）求证：平面平面（2）试问线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第61讲：立体几何探究点的位置的方法参考答案【反馈检测1答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）存在，（3）在平面中作交于，过作交于点，则因为，而，又，且.为直角梯形，且高.【反馈检测2答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在, （2）因为正方形与矩形所在平面互相垂直，所以，而，所以平面，又平面，所以.（3）存在满足条件的.依题意，以为坐标原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，所，易知为平面的法向量，设，所以平面的法向量为，所以，即，所以，取，则，又二面角的大小为，所以，解得.故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.【反馈检测3答案】（1）答案详见解析；（2）存在，且【反馈检测3详细解析】（1）C平面， 平面， =1， ，从而 的半径为，是直径， 又CD 平面，CD，故平面平面BCDE，平面平面方法2：建立如图所示空间直角坐标系，则：（4，0，0），（0，2，0），（0，0，4），（0，2，1），（0，0，0），则易知平面的法向量为，假设点存在，设，则，再设，即，从而设直线与平面所成的角为，则：解得，其中应舍去，而故满足条件的点存在，且