高考数学 数学思想的应用情形归纳 第06讲 函数方程思想情形之05-081

第06讲：函数方程思想情形之5-8【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等. 二、函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言讲问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.三、函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的，有时，还实现函数与方程的互相转化，接轨，达到解决问题的目的.四、本讲讲了函数方程思想情形之5-8, 情形5：三角函数中的函数方程思想；情形6：向量中的函数方程思想；情形7：解三角形中的函数方程思想；情形8：数列中的函数方程思想 .【方法讲评】函数方程情形五三角函数中的函数方程思想三角函数本身就是一种函数，三角函数里与角、三角函数、面积、有关的计算，多用方程的思想解答，三角函数的奇偶性、对称性、周期性等，多利用方程的思想分析解答，三角函数里的取值范围、值域、最值的求解多利用函数的思想分析解答, 先建立函数的模型，再利用函数求函数的取值范围和最值.【例1】如图为函数的部分图象（1）求函数解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围【解析】（1）由题中的图象知， ， ，即，所以，根据五点作图法，令，得到，单调递增，由图像得当上有两个不同的实根【点评】（1）本题第1问求函数的解析式，需要求各个待定系数，求各个待定系数就利用了方程的思想. (2)第2问求函数的单调区间，利用了正弦函数的单调性和复合函数单调性的性质，第3问研究函数的零点，利用了函数的图像之间的关系，充分体现了函数的思想.【反馈检测1】函数（， ， ）的部分图象如图所示.（1）求的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间及其在上的值域.函数方程情形六向量中的函数方程思想向量里面与向量的模、夹角、数量积、坐标等有关的计算，向量平行垂直的转化，多用方程的思想. 向量里的取值范围、最值等问题的处理，多用函数的思想分析解答, 先建立函数的模型，再利用函数求函数的取值范围和最值.【例2】已知向量（I）若，求的值；（II）求的最大值【点评】（1）本题的第1问就利用了公式得到关于的方程，从而求出的值，这里就利用了方程的思想. (2)本题的第2问求最大值，就利用了函数的思想，先建立关于的三角函数模型，再研究三角函数的最大值,从而求出的最大值.【反馈检测2】已知平行四边形中， ， ， 为的中点， .（1）求的长；（2）设， 为线段、上的动点，且，求的最小值.函数方程情形七解三角形中的函数方程思想解三角形里，与三角形的边、角、周长、面积、三角函数、正弦定理、余弦定理等有关的计算，多用到方程的思想.三角形里的取值范围、最值等多用到函数的思想，先建立函数的模型，再利用函数求函数的取值范围和最值.【例3】在锐角中， 角所对的边分别为，且.(1)求； (2)若，求面积的最大值.【点评】（1）本题的第1问求，就是把正弦定理代入已知的方程化简解得，第2问中求c边，也是通过正弦定理求得，充分利用了方程的思想. (2)本题的第2问，求面积的最大值，利用了函数的思想，先转化成求的最大值，再利用余弦定理和基本不等式求出的最大值.【反馈检测3】在 中，角所对的边分别为，且.（1）若依次成等差数列，且公差为，求的值；（2）若，试用表示的周长，并求周长的最大值.函数方程情形八数列中的函数方程思想数列本身就是一种特殊的函数，数列中与项、项数、通项、公差、公比、前n项和有关的计算，多用到方程的思想. 与、有关的的取值范围、最值等问题，多用到函数的思想，先建立函数的模型，再利用函数求取值范围和最值.【例4】设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数有：且一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前项和,求数列的通项公式；在的条件下，是否存在正数M使下列不等式：对一切成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】对任意的正数均有且又，又是定义在上的单增函数，当时，当时，为等差数列， ，单调递增，【点评】（1）本题的第1问数列的通项公式中，利用方程的思想分析出数列为等差数列，且.（2）本题第2问就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值，这实际上就是函数的思想.（3）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，如果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.【反馈检测4】已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图像上（I）求数列的首项和通项公式；（II）若数列满足，求数列的前项和；（III）已知数列满足若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围函数方程思想在高中数学中的应用情形归纳 第02讲：函数方程思想思想情形之5-8参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）单调递增区间为， ，值域为.【反馈检测1详细解析】（1）由图象可知， ， ，所以，又，所以，所以，又在图象上，当时， ，根据函数的性质可得，值域为.【反馈检测2答案】；（2）.【反馈检测2详细解析】（1），设，则有，解得或，故.（2），设， ，则，故的最小值为，的最小值为.【反馈检测3答案】（1）（2）.【反馈检测3详细解析】(1) 成等差数列，且公差为，又，恒等变形得，解得或，又.(2)在中， ，. 的周长 ，又，当即时， 取得最大值.【反馈检测4答案】（