高考数学二轮复习 3个附加题综合仿真练（四）

3个附加题综合仿真练(四)1本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲 如图，AB是圆O的直径，C为圆O外一点，且ABAC，BC交圆O于点D，过D作圆O的切线交AC于点E.求证：DEAC.解：如图，连结OD.因为ABAC，所以BC.由圆O知OBOD，所以BBDO.从而BDOC，所以ODAC.又DE为圆O的切线，所以DEOD，所以DEAC.B选修42：矩阵与变换已知矩阵A，X，且AX ，其中x，yR.(1)求x，y的值；(2)若B，求(AB)1.解：(1)AX . 因为AX，所以解得x3，y0. (2)由(1)知A ，又B ，所以AB . 设(AB)1 ，则，即. 所以解得a，b，c0，d，即 (AB)1 .C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长解：因为曲线C的极坐标方程为sin24cos 0，所以2sin24cos ，即曲线C的直角坐标方程为y24x. 将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得24，即t28t0，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.D选修45：不等式选讲设函数f(x)|2x1|x2|.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若xR，f(x)t2t恒成立，求实数t的取值范围解：(1)不等式f(x)2可化为或或解得x5或x1，所以所求不等式的解集为x|x1(2)由f(x)|2x1|x2|可得f(x)，若xR，f(x)t2t恒成立，则t2t，即2t211t50，解得t5.故实数t的取值范围为.2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，AB2，AC4，AA13.D是线段BC的中点(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1A1DC1的余弦值解：因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，所以分别以AB，AC，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0，3)，C1(0,4,3)，因为D是BC的中点，所以D(1，2,0)，(1)因为(0,4,0)，(1,2，3)，设平面A1C1D的法向量n1(x1，y1，z1)，则即取所以平面A1C1D的法向量n1(3,0,1)，而(1，2,3)，设直线DB1与平面A1C1D所成角为，所以sin |cosn1，|，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(2) (2,0,0)，(1，2,3)，设平面B1A1D的法向量n2(x2，y2，z2)，则即取所以平面B1A1D的法向量n2(0,3,2)，所以cosn1，n2，故结合图象知二面角B1A1DC1的余弦值.3已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明解：(1)Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1,2,3,4,5,6；若a2，则b1,2,4,6；若a3，则b1,3,6.所以f(6)13.(2)当n6时，f(n)(tN*)下面用数学归纳法证明：当n6时，f(6)6213，结论成立假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：a若k16t，则k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2，结论成立；b若k16t1，则k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；c若k16t2，则k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；d若k16t3，则k6t2，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；e若k16t4，则k6t3，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；f若k16t5，则k6t4，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立综上所述