高中数学第二章数列2_2_2等差数列的通项公式课件苏教版必修5

第2章 2.2 等差数列 2.2.2 等差数列的通项公式 1.掌握等差数列通项公式的推导及应用. 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质. 3.能运用等差数列的性质解决有关问题. 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一 等差数列的通项公式 思考 答案 等差数列an中，首项为a1，公差为d，如何用a1，d表示an? ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) a1dddda1(n1)d. (n1)个 梳理 一般地，ana1(n1)d称为等差数列an的通项公式. 已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项公式ana1 (n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项公式an? 知识点二 等差数列通项公式的几何意义 思考 答案 设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d， 变形得a1am(m1)d， 则ana1(n1)dam(m1)d(n1)d am(nm)d. 还记得高斯怎么计算123100的吗？ 知识点三 等差数列的性质 思考 答案 利用1100299. 梳理 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首项与末项的和.即a1ana2an1a3an2. 注意到上式中的序号1n2(n1)， 有：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则aman .特别地，若mn2p，则anam . apaq2ap 题型探究 类型一 求等差数列的通项公式 例1 甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行 速度： 解答 时间t(s)123？60 距离s(cm)9.819.629.449？ (1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的 关系吗？ 由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是 常数9.8，所以该模型是一个等差数列模型.因为a19.8，d9.8，所 以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s9.8t. (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长 时间？ 当t1 min60 s时，s9.8t9.860588(cm). 解答 由于anam(nm)d，要求通项公式，只需求出该数列的任意 一项和公差. 反思与感悟 跟踪训练1 已知等差数列an：3,7,11,15，. (1)135,4m19(mN*)是an中的项吗？试说明理由； 解答 a13，d4，ana1(n1)d4n1. 令an4n1135，n34， 135是数列an中的第34项. 令an4n14m19，则nm5(m，nN*). 4m19是数列an中的第m5项. (2)若ap，aq(p，qN*)是数列an中的项，则2ap3aq是数列an中的项 吗？并说明你的理由. 解答 ap，aq是数列an中的项， ap4p1，aq4q1. 2ap3aq2(4p1)3(4q1) 8p12q54(2p3q1)1， 其中2p3q1N*， 2ap3aq是数列an中的第2p3q1项. 类型二 等差数列通项公式及推广形式的应用 命题角度1 列方程(组)求基本量 例2 在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公 式. 解答 所以ana1(n1)d3(n1)22n1. 方法二 因为a8a2(82)d， 所以1756d，解得d2. 又因为ana2(n2)d， 所以an5(n2)22n1. 反思与感悟 把已知条件转化为关于a1，d的方程组求解，是一种常用思想， 称为方程思想.灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量. 解答 跟踪训练2 等差数列an为递减数列，且a2a416，a1a528，求 数列an的通项公式. 又a1a5，故a114，a52，d3， 故an143(n1)173n. 解答 取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)， 求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p. 它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列. 由于anpnqqp(n1)p， 所以首项a1pq，公差dp. 命题角度2 等差数列的通项公式与一次函数关系 例3 已知数列an的通项公式为anpnq，其中p，q为常数，那么 这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 反思与感悟 从通项公式代数特点上看，anknb(k，b为常数，nN*)an 是等差数列.其中公差为k.借助这一性质可以迅速判断某数列是否为 等差数列，但不宜用来证明.证明要用定义：an1and，nN*. 跟踪训练3 若an是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有_个. |an|；an1an； panq(p，q为常数)；2ann. 3 设anknb， 则an1ank，故为常数列，也是等差数列. panqp(knb)qpkn(pbq)， 故为等差数列. 2ann2(knb)n(2k1)n2b， 故为等差数列. 不一定是等差数列，如an2n4，则|an|的前4项为2,0,2,4，显然 |an|不是等差数列. 答案解析 类型三 等差数列性质的应用 例4 已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的 通项公式. 解答 方法一 因为a1a72a4， 所以a1a4a73a415， 即a45. 又因为a2a4a645，所以a2a69， 即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9， 解得d2. 若d2，ana4(n4)d2n3； 若d2，ana4(n4)d132n. 方法二 设等差数列的公差为d， 则由a1a4a715，得 a1a13da16d15， 即a13d5， 由a2a4a645， 得(a1d)(a13d)(a15d)45， 将代入上式，得 (a1d)5(52d)45， 即(a1d)(52d)9， 解，组成的方程组，得 a11，d2或a111，d2， 所以an12(n1)2n3 或an112(n1)2n13. 引申探究 1.在本例中，不难验证a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列an 中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN*，是否有amanap aqaras? 解答 设公差为d，则ama1(m1)d， ana1(n1)d， apa1(p1)d， aqa1(q1)d， ara1(r1)d， asa1(s1)d， amanap3a1(mnp3)d， aqaras3a1(qrs3)d， mnpqrs， amanapaqaras. 2.在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_. 答案解析 20 a3a810， a3a3a8a820. 33885557， a3a3a8a8a5a5a5a7， 即3a5a72(a3a8)20. 反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an 的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解 ，属于通项方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方 程的思想. 解答 跟踪训练4 在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833 ，求a3a6a9的值. 方法一 (a2a5a8)(a1a4a7)3d， (a3a6a9)(a2a5a8)3d， a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列. a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7) 2333927. 方法二 a1a4a7a1(a13d)(a16d) 3a19d39， a13d13. a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d) 3a112d33， a14d11. a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d) 3a115d31915(2)27. 当堂训练 1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d_. 答案解析 1234 6 由等差数列的性质得a8a3(83)d5d， 2.在等差数列an中，已知a42，a814，则a15_. 由a8a4(84)d4d，得d3， 所以a15a8(158)d147335. 1234 答案解析 35 3.等差数列an中，a4a515，a712，则a2_. 1234 答案解析 由数列的性质，得a4a5a2a7， 所以a215123. 3 1234 4.下列命题中正确的是_. 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列. 答案解析 a，b，c为等差数列，2bac， 2(b2