高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题18 三角函数的图像及性质1

专题18 三角函数的图像及性质【标题01】三角函数线大小比较错误【习题01】下列不等式成立的是. A B C D 【经典错解】作出弧度角的三角函数线，观察得选.【详细正解】在单位圆中，作出1弧度角的正弦线、余弦线和正切线，观察可以得到，故选.【习题01针对训练】已知，那么下列命题成立的是. A若是第一象限角，则； B若是第二象限角，则； C若是第三象限角，则； D若是第四象限角，则.【标题02】正弦函数的图像和性质理解不清【习题02】有下列命题：的递增区间是；在第一象限是增函数； 在上是增函数，其中正确的个数是 . A B C D 【经典错解】由于是正确的，故选.【详细正解】由于的递增区间是，所以是错误的；由于在第一象限不是单调函数，所以是错误的.是正确的，故选. 【深度剖析】（1）经典错解错在正弦函数的图像和性质理解不清. （2）不能因为正弦函数在是增函数，就说正弦函数在第一象限是增函数，实际上正弦函数在第一象限是不单调的. 在提到第一象限的时候，不能只想到，因为高中角的定义进行了推广,第一象限的角用区间表示为.如和 都是第一象限的角，且，但是.【习题02针对训练】下列命题中，正确的是. A函数在内是单调函数； B在第二象限内，是减函数，也是减函数； C的增区间为； D在区间上是减函数.【标题03】对函数的结构分析不清对复合函数分析不到位【习题03】已知函数的定义域为，值域为，求和的值【经典错解】 由题得， 解得.【详细正解】 当0时，则，解得；当0时，则， 解得；当=0时，显然不符合题意. =126，=23+12或=12+6，=1912【习题03针对训练】已知的定义域是，值域是，求和的值. 【标题04】三角函数图像的左右平移没有理解透彻【习题04】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数图象对应的解析式为 .【经典错解】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，再向上平移1个单位得函数的图象，故所得的函数对应的解析式为.【详细正解】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，再向上平移1个单位得函数的图象，故所得的函数对应的解析式为.故填.【习题04针对训练】函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合， 则= .【标题05】三角函数图像的伸缩变换理解不透彻【习题05】把函数的图像上的点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为 .【经典错解】把函数的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为.所以填.【详细正解】把函数的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为.故填.【深度剖析】（1）经典错解错在三角函数图像的伸缩变换理解不透彻.（2）把函数y=f(x) 的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数为，也就是说只是把函数的解析中有“ ”的地方换成“”，其它的都不变，所以把函数的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为.【习题05针对训练】要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的( ).A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度【标题06】图像左右平移理解错误【习题06】要得到的图象，只须将的图象( )A向右平移个单位 B向左平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位【经典错解】只须将函数的图象向右平移个单位就可以得到函数的图象，故选.【详细正解】由于tan=,只须将函数的图象向右平移个单位就可以得到函数的图象，故选D.【习题06针对训练】函数的图象可看成的图象按如下平移变换而得到的（ ）.A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位【标题07】求三角函数解析式时代点错误【习题07】函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）.A BC D【经典错解】由图像得,则 代入，得，则 ，故选.【详细正解】由图像得,则代入，得， .故选.位置的点.【习题07针对训练】函数（）的图象如图所示，则值为（ ）A B C D【标题08】解三角方程组时没有把解出的值代入每一个方程检验导致出现增解【习题08】是否存在，使等式同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【经典错解】由条件得 得 ， 即 将代入（2）得 又，代入（1）可知，符合将代入（2）得，综上可知 .【详细正解】（前面同上）将代入（2）得，把代入（1）可知，不符合，所以舍去. 综上可知【习题08针对训练】是否存在锐角与 ，使得（1），（2） 同时成立若存在，求出和的值；若不存在，说明理由【标题09】把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在R上的单调区间了【习题09】已知函数的部分图象如图所示1 和的值；2 函数在的单调增区间；3 函数在区间上恰有个零点，求的最大值【经典错解】（1） ，所以 （2）令， 得， 所以函数的单调增区间是.4 ，得或函数在每个周期上有两个零点，所以共有个周期，所以最大值为【详细正解】1） ，所以 （2）令， 得， 当 时， 当时， .又因为，所以函数在的单调增区间为和 .（3）同上.【深度剖析】（1）经典错解错在把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在R上的单调区间了.（2）已知要求的是函数在区间上的单调增区间，不是R上的单调增区间，所以求出函数在R上的单调增区间后，还要把增区间和求交集.（3）解题时，一定要养成好的习惯，不要定势思维.【习题09针对训练】已知函数（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若方程在内恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围【标题10】三角函数的周期公式的使用情景没有理解清楚【习题10】已知的最小正周期是，则.【经典错解】由题得 ，故填 .【详细正解】【习题10针对训练】已知的最小正周期是，则.【标题11】不能正确利用正切函数的图像和性质解不等式【习题11】已知是的一个内角，则不等式的解集为 .【经典错解】由正切函数的图像得不等式的解集为 【详细正解】当时， ；当时，.所以不等式的解集为.故填【深度剖析】（1）经典错解错在不能正确利用正切函数的图像和性质解不等式. （2）实际上本题可以直接画出正切函数在 的图像，再画 两条直线，观察两条直线之间的部分图像的的取值范围.(3)数学是严谨的自然科学，要讲究逻辑，不能感性.【习题11针对训练】不等式的解集为.【标题12】凭想象而不是利用三角函数的图像和性质解答【习题12】函数在区间 上的值域为 .【经典错解】由于 所以函数的值域为.【详细正解】作出函数的图像，在截断到，观察得函数的值域为 ，故填.【标题13】三角函数的周期分析错误【习题13】已知，且，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（ ）A B C D【经典错解】相邻两条对称轴之间的距离等于,即周期,又，所以，故选A. 【详细正解】相邻两条对称轴之间的距离等于,即周期,又，且，可求得，所以，故选.【深度剖析】（1）经典错解错在三角函数的周期分析错误. （2）错解把相邻两条对称轴的距离看作了一个周期，实际上是周期的一半，所以错误. 所以对于三角函数的图像要会识图,不要看错. 【习题13针对训练】若函数(，)在一个周期内的图象如图所示， 分别是这段图象的最高点和最低点，且，则（ ）A B C D【标题14】三角函数的周期和最值分析错误【习题14】已知函数中在任意的个长度单位的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数的取值范围是. 【经典错解】由题得 故填 【详细正解】由题得 故填.【习题14针对训练】已知函数 在内是减函数，则（ ）A B C D【标题15】复合函数的单调性理解没有到位【习题15】函数的单调增区间是 .【经典错解】由题得 故填. 【详细正解】由题得故填. 方法二：所以 故填.【习题15针对训练】设函数（）的图象的一条对称轴是直线.求； 求函数的单调增区间.【标题16】三角函数的周期扩大了导致错误【习题16】为了使函数在区间上至少出现次最大值，则的最小值是. A B C D 【经典错解】由题得 故选.【详细正解】由题得故选.【深度剖析】（1）经典错解错在三角函数的周期扩大了导致错误. （2）错解认为区间至少要包含50个周期，但是从三角函数的图像来看，只需要个周期就可以了. 【习题16针对训练】已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为（ ）A B C D【标题17】绝对值函数的图像理解不准确【习题17】函数的最小正周期为 .【经典错解】函数的最小正周期是，所以函数的最小正周期为.所以填 .【详细正解】函数的最小正周期是，所以函数的最小正周期为.所以填.【习题17针对训练】下列函数中，最小正周期为的是（ ）A B. C. D. 【标题18】求函数的取值范围时忽略了三角函数的隐含范围【习题18】已知，则的取值范围为.【经典错解】由已知得，所以 所以的取值范围为 【详细正解】由已知得所以 所以的取值范围为.【习题18针对训练】已知，求的最大值和最小值.【标题19】求函数的值域时忽略了分母不等于零【习题19】设函数 在 处取得最大值 ，其图像与 轴的相邻两交点的距离为 ，（1）求 的解析式；（2）求函数 的值域.【经典错解】（1）由题设条件知的周期，即，解得因在处取得最大值2，所以 ，从而 ，所以 ，又由 得故的解析式为 （2）因为，所以 . 故 的值域为【详细正解】（1）同上； （2）因，且 故 的值域为【深度剖析】（1）经典错解错在求函数的值域时忽略了分母不等于零.（2）错解忽略了分母，所以导致函数的值域错误.（3）研究函数的问题，必须注意函数的定义域，即使题目没有要求求函数的定义域.【习题19针对训练】设函数（其中）在处取得最大值，其图象与轴的相邻两个交点的距离为（1）求的解析式；（2）求的解集；（3）求函数的值域【标题20】研究函数的问题时没有考虑函数的自变量的范围【习题20】已知锐角中，向量与向量共线. （1）求； （2）函数的值域.【详细正解】（1）同上；（2） 因为是锐角三角形 所以 所以 所以 所以函数的值域为 .【习题20针对训练】在中，且. （1）求角的值； （2）求的最大值.高中数学经典错题深度剖析及针对训练第18讲：三角函数的图像性质参考答案【习题01针对训练答案】 【习题01针对训练解析】在单位圆中，根据画出 ,再逐一利用三角函数线验证每一个选项，故选.【习题02针对训练答案】 当0时，则；解之得=6，=5；当=0，不满足题意；当0时，则；解之得=6，=1综上所述：=6，=5或=6，=1【习题04针对训练答案】【习题04针对训练解析】函数向右平移得到 ，故填.【习题05针对训练答案】【习题05针对训练解析】根据题意可知：.故选.【习题06针对训练答案】 【习题06针对训练解析】因为，所以的图象向向左平移个单位即可得到函数的图象.【习题07针对训练答案】【习题08针对训练解析】由得到，所以 把 代入式子中得到：，把联立求得：或由题知锐角 ，当时，矛盾，所以舍去；当 时，因为 为锐角，所以，根据得到综上所述.【习题09针对训练答案】（1）， ；（2）.【习题09针对训练解析】(1) = 令，解得 即 ， 【习题10针对训练解析】 故填.【习题11针对训练答案】【习题11针对训练解析】由题得 所以 故填.【习题12针对训练答案】 【习题12针对训练解析】或 .【习题13针对训练答案】 【习题13针对训练解析】由图得，则，设（，），则（，- ），解得【习题14针对训练答案】【习题14针对训练解析】函数在内是减函数，且正切函数在内是增函数，由复合函数的单调性可知， 在内是减函数，