高考数学二轮复习 专题1_3 三角函数与平面向量（讲）文

专题1.3 三角函数与平面向量【高考改编回顾基础】1【同角三角函数、二倍角公式】【2017课标3改编】已知，则= .A BC D【答案】【解析】 .2. 【三角函数的定义、诱导公式】【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_【答案】 【解析】3. 【三角函数的同角公式、两角和差的三角函数】【2017课标1，文15】已知，tan =2，则=_【答案】【解析】【命题预测看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.学网（1）预计2018年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；（2）对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练；（3）通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质、解三角形等是常考题型.【典例分析提升能力】【例1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆O：x2+y2=1，点A1213,513，B-35,45，记射线OA与x轴正半轴所夹的锐角为，将点B绕圆心O逆时针旋转角度得到点C，则点C的坐标为_【答案】-5665,3365【解析】设射线OB与x轴正半轴的夹角为，有已知有cos=1213,sin=513,cos=-35,sin=45，所以cos(+)=coscos-sinsin=-5665 ，且sin(+)=sincos+cossin=3365 ，C点坐标为(-5665,3365) .【趁热打铁】已知角的张终边经过点， 且为第二象限（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【例2】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选D.【趁热打铁】【2018届江西省六校第五次联考】已知， ，则_.【答案】【方法总结全面提升】(1)巧记六组诱导公式对于“，的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限(2)几个常见的变形切入点：可凑倍角公式；可用升次公式；可化为，再用升次公式；或（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握.当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”常见的配角技巧：；.【规范示例避免陷阱】【典例】若函数的最大值为2，试确定常数的值【规范解答】，由已知得.【反思提高】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角【误区警示】已知表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幂变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于的三角函数的表达式，用错公式是本题易于出错的原因.考向二 三角函数的图象和性质【高考改编回顾基础】1【三角函数的解析式】【2017天津改编】设函数，其中，.若，且的最小正周期大于，则 ， .【答案】， 2. 【辅助角公式、三角函数的周期】【2017山东改编】函数 最小正周期为 .【答案】【解析】试题分析：因为,所以其周期, 3 . 【三角函数图象的变换】【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】4. 【两角和差的三角函数、三角函数的最值】【2017课标3改编】函数的最大值为 .【答案】【解析】由诱导公式可得： ，则： ,函数的最大值为 .5. 【和差倍半的三角函数、三角函数周期及单调性】【2017浙江改编】已知函数f（x）=sin2xcos2x sin x cos x（xR）求的最小正周期及单调递增区间【答案】最小正周期为，单调递增区间为【解析】【命题预测看准方向】三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题,常以选择题、填空题的形式考查,目前浙江高考也以解答题形式考查.试题难度为中低档.三角函数的性质,通常是给出函数解析式,先进行三角变换,将其转化为y=Asin(x+)的形式再研究其性质,或知道某三角函数的图象或性质求其解析式,再研究其他性质,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题.预测:三角函数的图象与性质考查方式较灵活,主要考查方式以综合三角恒等变换求性质为主, 通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质，考试题型选择题、填空题和解答题都可能出现.【典例分析提升能力】【例1】已知函数其中， ,（1）若求的值；（2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数.【答案】（1）；（2）.函数的图象向左平移个单位后所对应的函数为，是偶函数当且仅当即从而，最小正实数.【趁热打铁】为了得到函数的图象，可以将函数的图象A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度【答案】B【解析】因为，所以可以将函数的图象向右平移个单位长度.【例2】【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2xcos2x sin x cos x（xR）（）求的值（）求的最小正周期及单调递增区间【答案】（）2；（）最小正周期为，单调递增区间为【解析】（）由与得所以的最小正周期是由正弦函数的性质得解得所以的单调递增区间是【趁热打铁】已知函数（）求函数在上的单调递增区间（）若且，求的值【答案】（1）和；（2） 【例3】【2018广东广州海珠区综合测试（一）】设函数，则下列结论错误的是（ ）A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递减 【答案】D【解析】的周期为T=k,所以A对；当时， =-1,所以B对；时， 所以C错；时， ，y=cosx在上递减，所以D对；故选C.【趁热打铁】已知函数fx=sinx+0的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是( )函数fx的最小正周期是2；函数fx在区间12,6上是增函数；函数fx的图象关于直线x=12对称；函数fx的图象可由函数gx=sin2x的图象向左平移3个单位长度得到A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【方法总结全面提升】1.利用待定系数法求解析式.若设所求解析式为y=Asin(x+),可按以下规律来确定A,：（1）一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|,或代入点的坐标解关于A的方程. (2)因为T=2|,所以往往通过求周期T来确定.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T,或者利用结论“相邻的两个最高点与最低点之间的距离为T2;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T等”来确定T. (3)代入点的坐标,通过先解三角方程,再结合图象确定.特别提醒:求y=Asin(x+)的解析式,最难的是求,第一零点常常用来求,只要找准第一零点的横坐标,列方程就能求出.若对A,的符号或对的范围有要求,可用诱导公式变换,使其符合要求.2.图象变换理论:(1)平移变换沿x轴平移,按“左加右减”法则;沿y轴平移,按“上加下减”法则.(2)伸缩变换沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(01)为原来的 (纵坐标y不变);沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A0)，则aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C.4.【正弦定理、三角形面积】【2015浙江卷改编】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan A，B，a3，则ABC的面积为_【答案】9【命题预测看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:边和角的计算;三角形形状的判断;面积的计算;有关的范围问题.（1）预计2018年高考将以正弦、余弦定理的直接应用为主要考查目标，以解答题形式出现的可能性较大，难度以中档题为主；（2）结合向量或几何知识构建综合性题目是可能的发展方向，复习时需加以关注.【典例分析提升能力】【例1】【2018届浙江省部分市学校高三上9+1联考】设函数.（1）求的单调递增区间；（2）若角满足， ， 的面积为，求的值.【答案】(1) ， ；(2) .【趁热打铁】【2018届广西陆川县中学高三12月月考】已知函数.（）求函数在的单调递减区间；（）在锐角中，内角， ， ，的对边分别为， ， ，已知， ， ，求的面积.【答案】（1）和；（2）.【解析】试题分析：（）结合诱导公式及二倍角公式化简函数得，求减区间，只需即可，结合求交集即可；（）由，结合锐角， ，可得，由正弦定理将转化为，进而可求面积.试题解析：【例2】【2017课标1，理17】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 （1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.【解析】【趁热打铁】如图，在ABC中，B=3,BC=2，点D在边AB上，AD=DC,DEAC,E为垂足，（1）若BCD的面积为33，求CD的长；（2）若ED=62，求角A的大小.【答案】（I）273；（II）4.（）方法1：因为CD=AD=DEsinA=62sinA由正弦定理知：BCsinBDC=CDsinB，且BDC=2A，得2sin2A=62sinAsin60，解得cosA=22，A=4所以角的大小为4方法2：由正弦定理得2sinA=2AEsinB，得AEsinA=sinB=32又DEAE=tanA=sinAcosA，则AEsinA=DEcosA =62cosA=32，得cosA=22，A=4所以角的大小为4【方法总结全面提升】利用正弦定理与余弦定理解题,经常需要转化思想,一种是边转化为角,另一种是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,在解题过程中常用到以下规律:(1)分析已知等式中的边角关系,若要把“边”化为“角”,常利用“”,若要把“角”化为“边”,常利用sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R,cos C=a2+b2-c22ab等. (2)如果已知等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换.如果已知中含有形如为常数)的代数式,一般向余弦定理靠拢.(3)余弦定理与完全平方式相联系可有:.可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边;与重要不等式相联系,由,得,可探求边或角的范围问题.【规范示例避免陷阱】【典例】已知ABC三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C+3csin A-b-c=0,(1)求角A的值;(2)求函数f(x)=cos 2x+4sin Asin x在区间27,34的值域.【规范解答】(1)因为acos C+3csin A-b-c=0,由正弦定理得sin Acos C+3sin Csin A-sin B-sin C=0,即3sin Csin A-cos Asin C-sin C=0;3分因为sin C0,得3sin A-cos A=1,所以sinA-6=12.所以A-6=6或A-6=56(舍去),解得A=3.6分(2)由(1)得sin A=32,所以f(x)=cos 2x+4sin Asin x=1-2sin2x+23sin x=-2sinx-322+32.9分因为x27,34,所以sin x22,1.故函数f(x)的值域为6,52.12分【反思提升】解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.【误区警示】特别提醒：在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角,如仰角、俯角、方位角,以防出错.有些时候也必须注意到三角形的特殊性,如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等.考向四 平面向量的数量积及其应用【高考改编回顾基础】1【平面向量基本定理、平面向量的坐标运算】【2017课标3改编】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为 .【答案】3【解析】如图所示，建立平面直角坐标系故填3.2. 【平面向量的数量积、夹角】【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .【答案】【解析】，解得：3. 【平面向量的线性运算、平面向量的数量积】【2017天津，文理】在中，.若，且，则的值为_.【答案】 4. 【平面向量的坐标运算】【2017课标3，文13】已知向量，且，则m= .【答案】2【解析】由题意可得：.【命题预测看准方向】本部分内容在高考题中主要以选择题和填空题的形式出现,有时也以向量为工具在解答题中研究三角函数或圆锥曲线的性质,从近几年的高考试题来看,向量的线性运算、共线问题和平面向量的数量积、几何意义、模与夹角、垂直等问题是考查的重点,紧扣定义,理解其运算和性质的几何背景,学会应用是复习的重点.【典例分析提升能力】【例1】【2018届高三期末复习备考之精准复习模拟题】已知向量，若（）与平行，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【趁热打铁】已知向量， ，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】， ，解得 【例2】【2017天津，理13】在中，.若，且，则的值为_.【答案】 【趁热打铁】【2018届浙江省台州中学高三上第三次统练】如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记，则的值为（ ）A. B. 45 C. D. 180【答案】D【解析】因为与垂直,设垂足为，所以在投影为 ， ，从而的值为 选D.【例3】【2017江苏，16】 已知向量 （1）若ab,求x的值； （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，fx取得最大值，为3； 时，fx取得最小值，为.【趁热打铁】【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知向量，函数.（1）求的对称中心；（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（1）由，令即可得对称中心；（2）由，得，进而根据正弦函数的图象即可得最值.试题解析：（1）因为 【方法总结全面提升】1.对于平面向量的线性运算问题,要注意其与数的运算法则的联系与区别,两者不能混淆.要灵活运用向量的几何表示,在图形中发现向量关系.同时要注意两个定理的运用:(1)平面向量基本定理:设a,b是两个不共线向量,c是平面上任意一个向量,则存在一组实数x,y,使得c=xa+yb,当c0时,这样的x,y是唯一的;(2)向量共线定理:设OC=xOA+yOB,则A,B,C三点共线,当且仅当x+y=1.解决向量问题的常用方法有:一是基于“形”,通过作出向量,结合几