高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何第一讲直线与圆教案

第一讲 直线与圆考情分析直线与圆的方程系为高考命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多在选择题或填空题呈现.年份卷别考查角度及命题位置2017卷探索性问题与圆的弦长问题T202016卷直线与圆的位置关系及圆的面积问题T152015卷直线与圆相交问题T20卷圆的方程问题T7真题自检1(2016高考全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABC. D2解析：因为圆x2y22x8y130的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10的距离d1，解得a.答案：A2(2016高考全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_解析：圆C：x2y22ay20化为标准方程为x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r，因为|AB|2，点C到直线yx2a，即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.答案：4直线与直线方程方法结论1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d.4与已知直线l：AxByC0(A0，B0)平行的直线可改为AxBym0(mC)，垂直的直线可设为BxAym0.5直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，当l1l2时，有A1A2B1B20，当l1l2时，A1B2A2B10且A1C2A2C10.题组突破1(2017重庆一中检测)若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为()A.B.C. D.解析：由已知得3(a1)a0，解得a，故选D.答案：D2“ab4”是“直线2xay10与直线bx2y20平行”的()A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解析：因为两条直线平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又当a1，b4时，满足ab4，但是两直线重合，故选C.答案：C3经过直线l1：2x3y20与l2：3x4y20的交点，且平行于直线4x2y70的直线方程是()Ax2y90 B4x2y90C2xy180 Dx2y180解析：联立两条直线的方程得，解得x14，y10.所以l1，l2的交点坐标是(14,10)设与直线4x2y70平行的直线方程为4x2yc0(c7)，因为4x2yc0过l1与l2的交点(14,10)，所以c36，所以所求直线方程为4x2y360，即2xy180.故选C.答案：C误区警示1求直线方程时易忽视斜率k不存在情形2利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形3有关截距问题易忽视截距为零这一情形圆的方程方法结论1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心、为半径的圆题组突破1当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0Dx2y22x4y0解析：由(a1)xya10得(x1)a(xy1)0，由x10且xy10，解得x1，y2，即该直线恒过点(1,2)，所求圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.答案：C2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是()A(，2)B.C(2,0)D.解析：方程为2(ya)21a表示圆，则1a0，解得2a.答案：D3(2017北京西城模拟)与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是()A(x2)2(y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22解析：由题意知，曲线为(x6)2(y6)218，过圆心(6,6)作直线xy20的垂线，垂线方程为yx，则所求的最小圆的圆心必在直线yx上，又(6,6)到直线xy20的距离d5，故最小圆的半径为，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x2)2(y2)22.答案：D4一束光线从圆C的圆心C(1,1)出发，经x轴反射到圆C1：(x2)2(y3)21上的最短路程刚好是圆C的直径，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)24B(x1)2(y1)25C(x1)2(y1)216D(x1)2(y1)225解析：圆C1的圆心C1的坐标为(2,3)，半径为r11.点C(1,1)关于x轴的对称点C的坐标为(1，1)因为C在反射线上，所以最短路程为|CC1|r1，即14.故圆C的半径为r42，所以圆C的方程为(x1)2(y1)24，故选A.答案：A误区警示方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是D2E24F0，易忽视这一点直线与圆的位置关系方法结论1直线和圆的位置关系的判断方法直线l：AxByC0(A2B20)与圆：(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系如表.方法几何法：根据d与r的大小关系代数法：消元得一元二次方程，根据判别式的符号判断相交dr0相切dr0相离dr02.弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|2(其中d为弦心距)(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|(其中C为圆心)典例(2017常州模拟)如图，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线yx均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M相切，且与x轴及直线yx均相切，切点分别为C，D.(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦长解析：(1)由于圆M与BOA的两边相切，故M到OA，OB的距离相等，则M在BOA的平分线上，同理，N也在BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且直线ON为BOA的平分线，因为M(，1)，所以M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x)2(y1)21.设圆N的半径为r，连接AM，CN，则RtOAMRtOCN，得，即，解得r3，OC3，所以圆N的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求弦长为过点A的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在直线的方程为y(x)，即xy0，圆心N到该直线的距离d，故弦长为2.类题通法1圆上的点到直线的距离的化归思想(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解(3)直接设点，利用方程思想解决2数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点演练冲关1(2016惠州调研)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C外切 D相离解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而15，所以两圆相交答案：B2圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是()A30 B18C6 D5解析：由圆x2y24x4y100知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线xy140的最大距离为38，最小距离为32，故最大距离与最小距离的差为6.答案：C3已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解析：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.直线、圆与其他知识的交汇问题高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线与圆和函数、不等式、平面向量、三角、数列及圆锥曲线等知识交汇，体现命题创新典例(2014高考福建卷)已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为()A5 B29C37 D49解析：平面区域为如图所示的阴影部分的ABD，因圆心C(a，b)，且圆C与x轴相切，所以点C在如图所示的线段MN上，线段MN的方程为y1(2x6)，由图形得，当点C在点N(6,1)处时，a2b2取得最大值621237，故选C.答案：C类题通法对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法演练冲关1在平面直角坐标系xOy中，设直线yx2与圆x2y2r2(r0)交于A，B两点，O为坐标原点若圆上一点C满足，则r()A2 B.C2 D.解析：已知，两边平方化简得r2，所以cos AOB，所以cos，圆心O(0,0)到直线的距离为，所以，解得r.答案：B2已知圆O：x2y24，若不过原点O的直线l与圆O交于P，Q两点，且满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为()A1或1 B0或C1 D1解析：设直线l：ykxb(b0)，代入圆的方程，化简得(1k2)x22kbxb240，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，kOPkOQ(k)(k)k2kb()k2kb()，由kOPkOQk2，得k2，解得k1，故选A.答案：A3在平面直角坐标系中，O