高中数学 第二章 解三角形 1_1 正弦定理(二)学案 北师大版必修5

1.1正弦定理(二)学习目标1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用两边夹角求三角形面积知识点一正弦定理的常见变形1sin Asin Bsin C_；2._；3a_，b_，c_；4sin A_，sin B_，sin C_.知识点二判断三角形解的个数思考1在ABC中，a9，b10，A60，判断三角形解的个数梳理已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一例如在ABC中，已知a，b及A的值由正弦定理，可求得sin B.在由sin B求B时，如果ab，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果ab，则有AB，所以B为锐角或钝角，此时B的值有两个思考2已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？梳理解三角形4个基本类型：已知三边；已知两边及其夹角；已知两边及其一边对角；已知一边两角其中只有类型解的个数不确定知识点三三角形面积公式的拓展思考如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？梳理ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则ABC的面积Sabsin Cbcsin Aacsin B.类型一判断三角形解的个数引申探究例1中b28 cm，A40不变，当边a在什么范围内取值时，ABC有两解(范围中保留sin 40)?例1在ABC中，已知a20 cm，b28 cm，A40，解三角形(角度精确到1，边长精确到1 cm)反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求跟踪训练1已知三角形中a2，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形类型二利用正弦定理求最值或取值范围例2在锐角ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a2bsin A，求cos Asin C的取值范围反思与感悟解决三角形中的取值范围或最值问题：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题跟踪训练2在ABC中，若C2B，求的取值范围类型三三角形面积公式的应用命题角度1已知边角求面积例3在ABC中，AB，AC1，B30，求ABC的面积反思与感悟三角形面积公式Sabsin C，Sbcsin A，Sacsin B中含有三角形的边角关系因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积跟踪训练3在ABC中，a1，A30，C45，则ABC的面积为()A. B. C. D.命题角度2给出面积求边角例4在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则AC的长为_反思与感悟利用三角形两边夹角表示的三角形面积公式有3个，到底选择哪一个，要看题目给出的条件和解题目标跟踪训练4已知锐角三角形ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为()A75 B60 C45 D301在ABC中，AC，BC2，B60，则角C的值为()A45 B30C75 D902在ABC中，若，则ABC是()A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形3已知ABC的面积为，且b2，c，则sin A_.1已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值2判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式答案精析问题导学知识点一1abc2.2R3.2Rsin A2Rsin B2Rsin C4.知识点二思考1解sin Bsin A，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足AB180，故三角形有两解思考2如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题知识点三思考ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则haABsin B从而可求面积题型探究例1解根据正弦定理，sin B0.899 9.因为0Ba，BA，(1)当B64时，C180(AB)180(4064)76，c30(cm)(2)当B116时，C180(AB)180(40116)24，c13(cm)综上，B64，C76，c30 cm或B116，C24，c13 cm.引申探究解如图，A40，CDAD.AC28 cm，以C为圆心，a为半径画圆弧，当CDaAC，即bsin Aab，28sin 40a28时，ABC有两解(AB1C，AB2C均满足题设)跟踪训练1解a2，b6，ab，A30a，BA，B(0，180)，所以B60或120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.例2解a2bsin A，由正弦定理，得sin A2sin Bsin A，又A(0，)，sin A0，sin B.B为锐角，B.令ycos Asin Ccos Asincos Asincos Asin cos Acos sin Acos Asin Asin.由锐角ABC知，BA，A.A，sin，sin，即y0，所以0B，所以cos B1，所以12cos B2，又2cos B，所以12.例3解由正弦定理，得，sin C.0CAC，CB，C60或120.当C60时，A90，SABC1；当C120时，A30，SABC1sin 30.跟踪训练3DB180AC18030