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文档简介
3个附加题综合仿真练(二)1本题包括A、B、C、D四个小题,请任选二个作答A选修41:几何证明选讲如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,BCBD,BA的延长线交CD的延长线于点E.求证:AE是四边形ABCD的外角DAF的平分线. 证明:因为四边形ABCD是圆的内接四边形,所以DAEBCD,FAEBACBDC.因为BCBD,所以BCDBDC,所以DAEFAE,所以AE是四边形ABCD的外角DAF的平分线B选修42:矩阵与变换已知变换T将平面上的点,(0,1)分别变换为点,.设变换T对应的矩阵为M.(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的特征值解:(1)设M,则,即解得则M.(2)设矩阵M的特征多项式为f(),可得f()(3)(4)6276,令f()0,可得1或6.C选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线l:sinm(mR),圆C的参数方程为(t为参数)当圆心C到直线l的距离为时,求m的值解:由sinm,得sin coscos sinm,即xym0,即直线l的直角坐标方程为xym0,圆C的普通方程为(x1)2(y2)29,圆心C到直线l的距离d,解得m1或m5.D选修45:不等式选讲已知x,y,z都是正数且xyz8,求证:(2x)(2y)(2z)64.证明:因为x为正数,所以2x2.同理2y2,2z2. 所以(2x)( 2y)( 2z)2228.因为xyz8,所以(2x)( 2y)( 2z)64.2.在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),直线x1与动直线yn的交点为M,线段MF的中垂线与动直线yn的交点为P.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)过动点M作曲线E的两条切线,切点分别为A,B,求证:AMB的大小为定值解:(1)因为直线yn与x1垂直,所以MP为点P到直线x1的距离连结PF(图略),因为P为线段MF的中垂线与直线yn的交点,所以MPPF.所以点P的轨迹是抛物线焦点为F(1,0),准线为x1.所以曲线E的方程为y24x.(2)证明:由题意,过点M(1,n)的切线斜率存在,设切线方程为ynk(x1),联立方程得ky24y4k4n0,所以1164k(4k4n)0,即k2kn10(*),因为2n240,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k1,k2,因为k1k21,所以AMB90,为定值3对于给定的大于1的正整数n,设xa0a1na2n2annn,其中ai0,1,2,n1,i0,1,2,n1,n,且an0,记满足条件的所有x的和为An.(1)求A2;(2)设An,求f(n)解:(1)当n2时,xa02a14a2,a00,1,a10,1,a21,故满足条件的x共有4个,分别为x004,x024,x104,x124,它们的和是22,所以A222.(2)由题意得,a0,a1,a2,an1各有n种取法;an有n1种取法,由分步计数原理可得a0,a1,a2,an1,an的不同取法共有nnn(n1)nn(n1),即满足条件的x共有nn(n1)个,当a0分别取0,1,2,n1时,a1,a2,an1各有n种取法,an有n1种取法,故An中所有含a0项的和为(012n1)nn1(n1);同理,An中所有含a1项的和为(012n1)nn1(n1)nn;An中所有含a2项的和为(012n1)nn1(n1)n2n2;An中所有含an1项的和为(012n1)nn1(n1)nn1nn1;当an分别取i1,2,n1时,a0,a1,a2,an1各有n种取法,故An中所有含an项的和为(12n1)nnnnnn.所以An(1nn2nn1)nnnn(nn1nn1),故f(n)nn1n
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