高中数学 第二章 平面向量 2_3_1 平面向量基本定理学案 苏教版必修4

2.3.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的_向量a，_实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：_的向量e1，e2叫做表示这一平面内_向量的一组基底知识点二向量的正交分解思考一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？梳理正交分解的含义一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a_的形式，我们称它为向量a的_当e1，e2所在直线互相_时，这种分解也称为向量a的_类型一对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是_(填序号)e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使得e1e20，则0.反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来跟踪训练1e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是_e1e2，e1e2；3e12e2，4e26e1；e12e2，e22e1；e2，e1e2；2e1e2，e1e2.类型二用基底表示向量例2如图所示，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若a，b，试以a，b为基底表示，.引申探究若本例中其他条件不变，设a，b，试以a，b为基底表示，.反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解跟踪训练2如图所示，在AOB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与相交于点P，用基底a，b表示.类型三平面向量基本定理的应用例3在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，求的值反思与感悟当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得跟踪训练3已知向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，且ae1e2，b3e12e2，c2e13e2，若cab(，R)，试求，的值1下列关于基底的说法中，正确的是_平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.2AD与BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，且a，b，则_.3已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.4如图所示，在正方形ABCD中，设a，b，c，则当以a，b为基底时，可表示为_，当以a，c为基底时，可表示为_5已知在梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试用a、b为基底表示，.1对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决答案精析问题导学知识点一思考1 能依据是数乘向量和平行四边形法则思考2不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示梳理(1)不共线任一有且只有一对(2)不共线所有知识点二思考能，互相垂直的两向量可以作为一组基底梳理1e12e2分解垂直正交分解题型探究例1跟踪训练1例2解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，2，2，b，a.babab，ba.引申探究解取CF的中点G，连结EG.E、G分别为BC，CF的中点，b，ab.又，(ab)ab.又，b(ab)ab.跟踪训练2解，.设m，n，则mm()am(ba)(1m)amb，nn()bn(ab)(1n)bna.a，b不共线，即ab.例3解如图所示，连结MN并延长交AB的延长线于点T，由已知易得ABAT，所以，即.因为T，M，N三点共线，所以1，所以.跟踪训练3解将ae1e2与b3e12e2代入cab，得c(e1e2)(3e12e2)(3)e1(2)e2.因为c2e13e2，且向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，根据平面向量基