高考数学二轮复习 第2部分 八大难点突破 专项限时集训2 立体几何中的探索性与存在性问题

专项限时集训(二)立体几何中的探索性与存在性问题(对应学生用书第115页)(限时：60分钟)1(本小题满分14分)(南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)如图3，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点图3(1)求证：B1C1平面A1DE；(2)求证：平面A1DE平面ACC1A1.证明(1)因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC，2分又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE.4分又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE.6分(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE.8分又BCAC，DEBC，所以DEAC，10分又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以DE平面ACC1A1.12分又DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1.14分2(本小题满分14分)如图4所示，已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADDC，ABDC，DCDD12AD2AB2.图4(1)求证：DB平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E平面A1BD，并说明理由解(1)因为ABDC，ADDC，所以ABAD，在RtABD中，ABAD1，所以BD，易求BC，4分因为CD2，所以BDBC.又BDBB1，B1BBCB，所以BD平面B1BCC1.6分(2)DC的中点为E点如图所示，连接BE，因为DEAB，DEAB，所以四边形ABED是平行四边形.8分所以ADBE.又ADA1D1，所以BEA1D1，10分所以四边形A1D1EB是平行四边形，所以D1EA1B.12分因为D1E平面A1BD，所以D1E平面A1BD.14分3(本小题满分14分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图5, 在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EFC1D.求证：图5(1)直线A1E平面ADC1；(2)直线EF平面ADC1. 【导学号：56394093】证明(1)连接ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以B1EBD且B1EBD，所以四边形B1BDE是平行四边形，2分所以BB1DE且BB1DE，又BB1AA1且BB1AA1，所以AA1DE且AA1DE，所以四边形AA1ED是平行四边形，4分所以A1EAD，又因为A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以直线A1E平面ADC1.7分(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，又AD平面ABC，所以ADBB1，又ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以ADBC，9分又BB1，BC平面B1BCC1，BB1BCB，所以AD平面B1BCC1，又EF平面B1BCC1，所以ADEF，11分又EFC1D，C1D，AD平面ADC1，C1DADD，所以直线EF平面ADC1.14分4(本小题满分14分)(镇江市2017届高三上学期期末)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBCECAA1.图6(1)求证：AC1平面BDE；(2)求证：A1E平面BDE.证明(1)连接AC交BD于点O，连接OE.在长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，点O为AC的中点，2分AA1CC1且AA1CC1，由ECAA1，则ECCC1，即点E为CC1的中点，于是在CAC1中，AC1OE.4分又因为OE平面BDE，AC1平面BDE.所以AC1平面BDE.6分(2)连接OA1，根据垂线定理，可得OA1DB，OEDB，OA1OEO，平面A1OEDB.可得A1EDB.8分E为CC1的中点，设ABBCECAA1a，BEa，A1Ea，A1Ba，A1B2A1E2BE2，A1EEB.12分EB平面BDE，BD平面BDE，EBBDB，A1E平面BDE.14分5(本小题满分16分)(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017届高三上学期期末)如图7，在四棱锥EABCD中，平面EAB平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EAEB，点M，N分别是AE，CD的中点图7求证：(1)直线MN平面EBC；(2)直线EA平面EBC.证明(1)取BE中点F，连接CF，MF，又M是AE的中点，所以MF綊AB，又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，4分所以MNCF，又MN平面EBC，CF平面EBC，所以MN平面EBC.8分(2)在矩形ABCD中，BCAB，又平面EAB平面ABCD，平面ABCD平面EABAB，BC平面ABCD，所以BC平面EAB，12分又EA平面EAB，所以BCEA，又EAEB，BCEBB，EB，BC平面EBC，所以EA平面EBC.16分6(本小题满分16分)(无锡市2017届高三上学期期末)在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点求证：图8(1)平面PAD平面ABCD；(2)EF平面PAD. 证明(1)AP平面PCD，CD平面PCD，APCD.ABCD为矩形，ADCD，2分又APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，CD平面PAD，4分CD平面ABCD，平面PAD平面ABCD.6分(2)连接AC、BD交于O，连接OE，OF.ABCD为矩形，O为AC中点，E为PC中点，OEPA.OE平面PAD，PA平面PAD，OE平面PAD，10分同理OF平面PAD，12分OEOFO，平面OEF平面PAD，14分EF平面OEF，EF平面PAD.16分7(本小题满分16分)(扬州市2017届高三上学期期末)如图9，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点图9(1)求证：EF平面PAB；(2)若APAD，且平面PAD平面ABCD，证明：AF平面PCD. 【导学号：56394094】证明(1)因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EFCD，又在矩形ABCD中，ABCD，所以EFAB，3分又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.6分(2)在矩形ABCD中，ADCD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD，又AF面PAD，所以CDAF