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充分条件与必要条件 人教版高一数学第一册（上 ） 2、四种命题及相互关系 1、命题：可以判断真假的语句 可以写成：若p则q。 复习旧知 引入新课 4、如果命题“若p则q”为假， 则记作p q. 3、若命题“若p则q”为真, 记作p q（或q p）. 原命题 若 p则 q 逆命题 若 q则 p 否命题 若 p 则 q 逆否命题 若 q 则 p 互逆 互逆 互否互否 互为逆否 3、若命题“若p则q”为真, 例 “若x0，则x20”是一个真命题，可写成：x0x20； “若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命 题, 两三角形面积相等. 可写成：两三角形全等 一般地，如果已知p q，那么我们就说， p是q的充分条件， q是p的必要条件. 在上面两个例子中， “x0”是“x20”的 ，“x20”是“x0”的 “两三角形全等”是“两三角形面积相等”的 “两三角形面积相等”是“两三角形全等”的 一.充分条件与必要条件 充分条件必要条件 充分条件 必要条件. 例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q 是p的什么条件： p：x=y；q：x2=y2. q：三角形的三个角相等. p：三角形的三条边相等； 分析：可以根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断. x2=y2， 知p是q的 由p q,即三角形的三边相等 三角形的三角 相等, 解:(1) 由p q ,即x=y 反过来，由q p，即三角形的三个角相等 三角形 的三条边相等，q也是p的充分条件，p也是q的必要 条件 充分条件，q是p的必要条件. 知p是q的充分条件,q是p的必要条件; 课堂练习：课本P35练习：1、2 答案： 1填在课本上(略） 2p p， q，p是q的充分条件, q是p的必要条件 p，p是q的必要条件, q是p的充分条件 q，p是q的充分条件， q是p的必要条件 又q pq也是p的充分条件p也是q的必要条件. q,p是q的充分条件, q是p的必要条件 又q q也是p的充分条件,p也是q的必要条件 q p p 二.充要条件 l在例1的第(2)小题中,”三角形的三条边相等”既是 三角形的三个角相等”的充分条件,又是”三角形的 三个角相等”的必要条件,我们就说,”三角形的三条 边相等”是”三角形的三个角相等”的充分必要条件 ,简称充要条件. l一般地,如果既有p q,又有q p,就记作 P q 这时，p是q的充分条件，又是q的必要条件， 我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件 。 例： “x是6的倍数”是“x是2的倍数” 的充分不必要条件 “x是2的倍数”是“x是6的倍数”的必要不充分条件 “X既是2的倍数也是3的倍数”是 的既不充分也不必要条件“x是6的倍数”“x是的倍数” 是 “x是的倍数”的充要条件 条件p与结论q的四种关系 pq pq p是q的充分 不必要条件 p是q的必要 不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分 也不必要条件 p pq q pq p q p pq q p q 归纳 back 例 l指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而 不必要条件”，“必要而不充分条件”，“充要条件”和“既 不充分也不必要条件”中选出一种）？ (1)p: (x-2)(x-3)=0; q: x-2=0 (2)p: 同位角相等; q: 两直线平行 (3)p: x=3; q: x2=9 (4)p: 四边形的对角线相等 q: 四边形是平行四边形 Go to 1Go to 2 l解： (1) q:（x-2)=0 p:(x-2)(x-3)=0 (x-2)(x-3)=0 （x-2)=0 所以p是q的 back （）同位角相等 两直线平行 所以p是q的 必要不充分条件 充要条件 (3)p:x=3 q:x2=9 x2=9 x=3 所以p是q的 back 充分不必要条件 4)p:四边形的对角线相等 q:四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形的对角线相等 所以p是q的既不充分也不必要条件 课堂练习：课本P36练习：1，2； 答案： 1.填在课本上（略） 2.（口答） 充分不必要条件 .充分不必要条件 .充要条件 .必要不充分条件 从命题角度看 引申 l若把命题中的条件与结论分别记作p与q ,则原命题 与逆命题同p与q之间有如下关系： 若原命题是真命题,逆命题是假 命题, 若原命题是假命题,逆命题是真 命题, 若原命题和逆命题都是真命题, 若原命题和逆命题是假命题, 充分不 必要条件 必要不 充分条件 充 要 条 件 既不充分也 不必要条件 即: 即: 即: 即: 那么p是q的充分不必要条件 那么p是q的必要不充分条件 那么p和q互为充要条件 那么p是q的既不充分也不必要条件 back pq qp qp pq p qp q p q pq q p 从 集 合 角 度 看 引申 p q,相当于P=Q , 即:互为充要条件的两个事物 表示的是同一事物。如 右图: p是q的充分不必要条 件，相当于P Q,如右图 p是q的必要不充分条 件,相当于P Q ,如左图 back 例（用集合的方法来判断下列 各题中的p是q的什么条件） p:菱形 q:正方形 2. p: x4 q: x1 解：由图可知p是q的 由图可知p是q的 p:菱形 q:正方形 图 q p 014 图 必要不充分条件 充分不必要条件 练习 l设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必 要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么（ ） A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 丙 甲（乙） 情况 情况 甲 乙 丙 从集合的角度考虑