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一、基本概念 1.集合:具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 有限集 无限集 数集分类:N-自然数集Z-整数集 Q-有理数集R-实数集 数集间的关系: 例如 不含任何元素的集合称为空集. 例如, 规定空集为任何集合的子集. 2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域: 4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 通常用字母a, b, c等表示常量, 而数值变化的量称为变量. 常量与变量的表示方法： 用字母x, y, t等表示变量. 5.绝对值: 运算性质: 绝对值不等式: 二、函数概念 例 圆内接正多边形的周长 圆内接正n 边形 O r ) 因变量自变量 数集D叫做这个函数的定义域 自变量 因变量 对应法则f 函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值. 定义: 如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数 (1) 符号函数 几个特殊的函数举例 1 -1 x y o (2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图 所示,写出电压U与时间 的函数关系式. 解 单三角脉冲信号的电压 例2 解 故 三、函数的特性 M -M y x o y=f(x) X 有界无界 M -M y x o X 1函数的有界性: 2函数的单调性: x y o x y o 3函数的奇偶性: 偶函数 y xox-x 奇函数 y xox -x 4函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 四、反函数 D W D W 直接函数与反函数的图形关于直线 对称. 例3 解 单值函数, 有界函数, 偶函数, 周期函数(无最小正周期) 不是单调函数, 五、小结 基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数 思考题 思考题解答 设 则 故 练 习 题 练习题答案 一、基本初等函数 1.幂函数 2.指数函数 3.对数函数 4.三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 5.反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数. 二、复合函数 初等函数 1.复合函数 定义: 注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次 四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数,称为初等函数. 四、小结 函数的分类: 函数 初等函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数) 思考题 思考题解答 不能 一、填空题: 练 习 题 练习题答案 一、基本初等函数 1.幂函数 2.指数函数 3.对数函数 4.三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 5.反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数. 二、复合函数 初等函数 1.复合函数 定义: 注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次 四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数,称为初等函数. 四、小结 函数的分类: 函数 初等函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数) 思考题 思考题解答 不能 一、填空题: 练 习 题 练习题答案 播放 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 2.另两种情形: 3.几何解释: 例1 证 二、自变量趋向有限值时函数的极限 2.几何解释: 注意 ： 例2 证 例3 证 例4 证 函数在点x=1处没有定义. 例5 证 3.单侧极限: 例如, 左极限 右极限 左右极限存在但不相等, 例6 证 三、函数极限的性质 1.有界性 2.唯一性 推论 3.不等式性质 定理(保序性) 定理(保号性) 推论 例如, 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等. 例7 证 二者不相等, 四、小结 函数极限的统一定义 (见下表) 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 思考题 思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在. 一、填空题: 练 习 题 练习题答案 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、无穷小 1.定义:极限为零的变量称为无穷小. 例如, 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小); 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大 注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 不是无穷大 无界 ， 证 三、无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论. 四、小结 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大. 思考题 思考题解答 不能保证. 例 有 一、填空题: 练 习 题 练习题答案 一、极限运算法则 定理 证 由无穷小运算法则,得 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 有界， 二、求极限方法举例 例1 解 小结: 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 解 例3 (消去零因子法) 例4 解 (无穷小因子分出法) 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例5 解 先变形再求极限. 例6 解 例7 解 左右极限存在且相等, 三、小结 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 思考题 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为 什么？ 思考题解答 没有极限 假设 有极限， 有极限， 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾，故假设错误 一、填空题: 练 习 题 二、求下列各极限: 练习题答案 一、极限存在准则 1.夹逼准则 证 上两式同时成立, 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 注意: 准则 和准则 称为夹逼准则. 例1 解 由夹逼定理得 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 例2 证 (舍去) 二、两个重要极限 (1) 例3 解 (2) 定义 类似地, 例4 解 例5 解 三、小结 1.两个准则 2.两个重要极限 夹逼准则; 单调有界准则 . 思考题 求极限 思考题解答 一、填空题: 练 习 题 二、求下列各极限: 练习题答案 一、无穷小的比较 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 定义: 例1 解 例2 解 常用等价无穷小: 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 例如, 二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) 证 例3 解 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 注意 例4 解 解 错 例5 解 三、小结 1.无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗？ 思考题解答 不能例当 时 都是无穷小量 但不存在且不为无穷大 故当 时 练 习 题 练习题答案 一、函数的连续性 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由定义2知 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 例3 证 二、函数的间断点 1.跳跃间断点 例4 解 2.可去间断点 例5 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续. 判断下列间断点类型: 例8 解 三、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 思考题 思考题解答 且 但反之不成立. 例 但 练 习 题 练习题答案 一、四则运算的连续性 定理1 例如, 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理3 证 将上两步合起来: 意义1.极限符号可以与函数符号互换; 例1 解 例2 解 同理可得 定理4 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. (均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注意 注意 2. 初等函数求极限的方法代入法. 例3 例4 解 解 四、小结 连续函数的和差积商的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法. 两个定理; 两点意义. 反函数的连续性. 思考题 思考题解答 是它的可去间断点 练 习 题 练习题答案 一、最大值和最小值定理 定义: 例如, 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 二、介值定理 定义: 几何解释: 几何解释: M B C A m a b 证 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值. 例1 证 由零点定理, 例2 证 由零点定理, 三、小结 四个定理 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理; 思考题 下述命题是否正确？ 思考题解答 不正确. 例函数 练 习 题 （一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念 一、主要内容 第一章习题课 函 数 的定义 反函数隐函数 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性 双曲函数与 反双曲函数 1、函数的定义 函数的分类 函数 初等函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数) (1) 单值性与多值性: 2、函数的性质 (2) 函数的奇偶性: 偶函数 奇函数 y xo (3) 函数的单调性: 设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 及 ，当 时，恒有： (1) ,则称函数 在区间I上是单调增加的； 或(2) , 则称函数 在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 (4) 函数的有界性: 设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通常 说周期函数的周期是指其最小正周期）. (5) 函数的周期性: o y x 3、反函数 4、隐函数 5、反函数与直接函数之间的关系 6、基本初等函数 1）幂函数 2）指数函数 3）对数函数 4）三角函数 5）反三角函数 7、复合函数 8、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数. 9、双曲函数与反双曲函数 双曲函数常用公式 左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的性质 数列极限函 数 极 限 等价无穷小 及其性质 唯一性 无穷小 两者的 关系 无穷大 1、极限的定义 左极限 右极限 无穷小: 极限为零的变量称为无穷小. 绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大: 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 无穷小与无穷大的关系 2、无穷小与无穷大 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 无穷小的运算性质 定理 推论1 推论2 3、极限的性质 4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分